Визначений інтеграл, його фізичний та геометричний зміст



Скачати 155.72 Kb.
Дата конвертації30.04.2016
Розмір155.72 Kb.


Тема: Визначений інтеграл, його фізичний та геометричний зміст

Мета:

систематизувати та узагальнити знання з теми «Визначений інтеграл, його фізичний та геометричний зміст»; закріпити навички знаходження визначеного інтегралу, його фізичного та геометричного змісту; сприяти закріпленню знань про геометричний та фізичний зміст інтеграла: обчислення площі області, обмеженої графіками функцій, роботи, кінетичної енергії, кількості тепла, сили тиску; забезпечити засвоєння учнями різних способів застосування інтегралу;

розвивати психологічні якості учнів: мислення, вмінь застосовувати отриманні знання на практиці; творчі інтелектуальні здібності учнів; пізнавальні вміння (виділяти головне при розв’язуванні задач); вміння навчальної праці (робота з додатковою літературою, з мережею Інтернет);

виховувати позитивне ставлення до знань; дисциплінованість; математичну та графічну культуру записів; комунікативні та інформаційні риси в учнів, активність та спостережливість, вміння співпрацювати в групі, висловлювати свою точку зору, опанувати, узагальнювати.



Тип уроку: комбінований

Обладнання: Комп’ютерний клас, інтерактивна дошка, проектор, картки – завдання.

Демонстраційний матеріал: презентація PowerPoint, файли для роботи з інтерактивною дошкою.
План уроку

І. Організаційний етап

1.1. Підготовка до уроку

ІІ. Актуалізація опорних знань

2.1. Інтелектуальна розминка з теорії

2.2. Тест із взаємоперевіркою

IІІ. Систематизація та узагальнення знань

Презентація груп

ІV. Домашнє завдання

V. Підведення підсумків



Хід уроку

І. Організаційний етап

Мотивація навчальної діяльності учнів.

Інтеграл має широкий спектр використання як у математиці, так і у фізиці, економіці тощо. Він часто використовується у задачах різного рівня складності у завданнях ДПА та ЗНО, тому досить важливо навчитися розв’язувати нестандартні задачі на інтеграл для успішної здачі екзаменів.



Повідомлення теми і мети уроку

1.1. Підготовка до уроку

Учні класу об’єднуються у шість груп. Кожна група отримує випереджувальне завдання:



  • розробити прикладну задачу;

  • презентувати розв’язання прикладної задачі;

  • підготувати задачу даного типу для інших груп.

Призначаються керівники груп, розподіляються обов’язки між учасниками групи.

Кожна група отримує лист оцінювання, в якому враховується:



  • робота кожного учасника групи;

  • підготовка матеріалів;

  • презентація проекту розв’язання задачі;

  • вміння відповісти на поставлені питання вчителів та учасників інших груп;

  • активність роботи під час уроку.

Оцінювання за підготовку та роботу на уроці покладається на групу.

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Інтелектуальна розминка з теорії

  • означення невизначеного інтеграла;

  • означення визначеного інтеграла;

  • геометричний зміст визначеного інтеграла;

  • формула Ньютона – Лейбніца, для яких функцій вона справджується, який зміст вона має;

  • чи може визначений інтеграл бути додатним, від'ємним, нулем.

Що це означає з точки зору геометрії?

  • фізичний зміст визначеного інтеграла;


2. Тест із взаємоперевіркою (протягом 7-10 хвилин учні працюють над тестами, що містять два варіанти, на екран проектуються відповіді, учні перевіряють, виставляють бали) (див. Додаток 1,2)

IІІ. Систематизація та узагальнення знань

Презентація груп

І група.

Задача: Знайти площу області, обмеженої віссю Ох та кривою

у=х3-6х2+11х-6.

Розвязання:
Знайдемо точки перетину заданої кривої з віссю Ох. Легко бачити, що одним з коренів рівняння у=х3-6х2+11х-6 є х1=1. Два інші корені знайдемо так: поділивши ліву частину рівняння на х-1, використовуючи правило ділення многочленів, або схему Горнера, отримаємо х2-5х+6. Прирівнюючи цей вираз нулю:

х2-5х+6=0, маємо: х2=2, х3=3.

Побудуємо графік даної функції:



З графіка даної функції (див. рис.) видно, що на відрізку [2;3]область знаходиться під віссю Ох, тому

S=S1 - S2==.

Відповідь: .
ІІ група.

Задача: Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює R.

Розвязання:

За законом Ньютона сила F притягання тіла Землею дорівнює:

,

де М – маса Землі, =6,67·10-11 - гравітаційна сила, х – відстань від центра тіла до центра Землі.

Нехай стала mM=k, тоді F(x)=, . При x=R сила F(R)дорівнює вазі тіла P=mg, тобто , звідси .

За формулою , маємо:

.

Відповідь: .
ІІІ група.

Задача: Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати рідину з конічного резервуару, оберненого вершиною вниз, якщо висота резервуара дорівнює Н, радіус основи R.

Розвязання:

Обчислимо вагу елементарного шару рідини, що знаходиться на глибині х. Розглянемо рисунок:


Висоту dx цього шару виберемо такою, щоб вважати цей шар циліндром радіуса у=СВ. Тоді вага dP цього шару дорівнює :

,

де - густина рідини, g –прискорення вільного падіння, dV – об’єм циліндра.

З подібності трикутників AOD i CBD знаходимо у:

. Отже,

Елементарна робота, яку необхідно затратити для підняття цього шару рідини на висоту х, дорівнює: тому


ІV група.

Задача: Обчислити кінетичну енергію однорідного кругового конуса, який обертається з кутовою швидкістю w навколо своєї осі, якщо задані радіус основи конуса R, висота Н і густина .

Розв’язання:

Врахуємо, що кінетична енергія тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, обчислюється за формулою

де w – кутова швидкість, І - момент інерції відносно осі обертання.

За елементарну масу dmвізьмемо масу порожнього циліндра висотою h із внутрішнім радіусом r, товщиною стінок dr. (Див. рисунок)

Тоді . Трикутники ОСD та ОАВ подібні. Тому

тобто .


Маємо,



елементарний момент інерції dІ дорівнює:



Отже, момент інерції всього конуса є:



Остаточно, кінетична енергія конуса дорівнює:


V група.

Задача: Знайти силу тиску води на вертикальну стінку у формі півкруга, радіус якого R=3м і який знаходиться на поверхні води.

Розвязання:

Побудуємо рисунок.



За законом Паскаля сила тиску рідини на площадку обчислюється за формулою:



де густина ридини, g – прискорення сили тяжіння, h- глибина занурення, S - площп площадки.

Позначимо глибину занурення через х. Елементарну площадку будемо вважати циліндром радіуса у=АВ і висотою dx. Із трикутника АОВ маємо

Тоді площа площадки дорівнює

Знайдемо диференціал тиску на елементарну площадку:



Отже,


VI група. Задача: Знайти кількість тепла, що виділяється змінним струмом І=І0coswt за період у провіднику з опором R.

Розвязання:

За законом Джоуля-Ленца кількість тепла, що виділяється постійним струмом за період t, дорівнює



Елементарна кількість тепла, що виділяється за термін dt, обчислюється згідно з цією формулою так:

.

Обговорення в групах
І

V. Домашнє завдання

Кожна група отримує творче завдання:


  • знайти та опрацювати першу та другу теореми Гульдіна;

  • розв’язати прикладні задачі, використовуючи вивчені теореми.(Додаток 3)

V. Підведення підсумків

Кожна група колегіально, толерантно оцінює роботу кожного учасника групи, озвучує оцінку. Учні інших груп можуть дискутувати щодо оцінювання учасників. Листи оцінювання здаються вчителю.



Використані джерела:

1. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1997. –352 с.

2. Давыдов Н. А., Коровкин П. П., Никольский В. Н. Сборник задач по математическому анализу. – М., Просвещение, 1973. – 256 с.

3. Єршова А. П., Голобородько В. В. Самостійні та контрольні роботи з алгебри та початків аналізу для 10-11 класів. – Х., Ліцей, 2002. – 176 с.

4. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. Алгебра та початки аналізу. 11 клас. За редакцією З. І. Слєпкань. – Х., Гімназія, 2002. – 160 с.

5. Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: підруч. для 11 кл. з поглибленим вивченням математики: у 2 ч. – Х., Гімназія, 2011. – Ч. 1. – 256 с.

6. Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: підруч. для 11 кл. з поглибленим вивченням математики: у 2 ч. – Х., Гімназія, 2011. – Ч. 2. – 272 с.

7. Сборник задач по математике для поступающих в вузы/ Под ред. А. И. Прилепко. – М., Высш. шк., 1989. – 271 с.

8. Швець В. О. та ін. Дидактичні матеріали з математики для 11 класу: Посібник для вчителя. – К., Освіта, 1997. – 110с.

9. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. – М., Наука, 1968. – Т.1. – 440 с.



Додаток 1

I варіант

1. Первісна для у=cos x є:

А) sin x Б) cos x+C В) sin x+C Г) - sin x+C

2. Первісна для у= ах є:

А) ах +С Б) ах В) +C Г) ах ln a+C

3. Первісна для у=xα є:

А) αхα-1+C Б) В) +C Г) +C, α≠-1

4. Первісна для у= є:

А) +С Б) x+C В) 2+C Г) -2+C

5. Первісна для у= є:

6. Первісна існує для функцій

А) парних Б) непарних В) зростаючих Г) неперервних на <а;в>

7. Невизначений інтеграл – це

А) множина первісних виду f(x) +C Б) множина первісних виду F'(x) +C

В) множина первісних виду f '(x) +C Г) множина первісних виду F(x) +C

8. Геометричною інтерпретацією визначеного інтеграла є:

А) площа криволінійної трапеції на Б) об’єм тіла обертання на

В) довжина кривої на Г) робота тіла на

9. дорівнює:

А) ln 3 Б) ln 5 В) 5 Г) 0

10.

А) 4 Б) 2 В) 8 Г)2



II варіант

1. Первісна для у =sin x є:

А. cos х + С Б. sin x В. – соsх + С Г. sіn х + С

2. Первісна для у = є:

А. + С Б. + С В. + С Г. + С

3. Первісна для у = е є:

А. е Б. + С В. + С Г. е + С

4. Первісна для у = є:

А. lnx + C Б. + C В. ln + С Г. + C

5. Первісна для y = є:

6. Множина первісних для f (x) має вид:

А. f (x) + С Б. F(x) + C В. F'(x) + С Г. f '(x) + С

7. Визначений інтеграл це:

А. множина первісних виду F(x) + C Б. границя інтегральних сум на

В. границя відношення приросту функції до приросту аргументу Г. множина первісних f '(x) + С

8. Фізичним змістом визначеного інтеграла є:

А. площа криволінійної трапеції Б. об’єм тіла обертання на

В. робота тіла на Г. шлях, пройдений на

9. дорівнює:

А. 27 Б. 27ln3 В. Г. 81

10.

А. 1 Б. 1 В. 3 Г. – 1



Додаток 2

Відповіді тестів

1 варіант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

В

В

Г

В



Г

Г

А

А

Б

2 варіант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

В

Г

А

В



Б

Б

А

В

Б


Додаток 3

Теорема (перша теорема Гульдіна). Площина поверхні обертання, яка утворюється від обертання дуги АВ навколо осі, що її не перетинає і розташована в площині дуги АВ, дорівнює добутку довжини кола, яке отримується від обертання центра ваги дуги АВ навколо цієї осі, на довжину lАВ дуги АВ.

Якщо віссю обертання є вісь Ох, відповідна формула має вигляд:



.

Теорема (друга теорема Гульдіна). Об’єм тіла обертання, яке утворюється від обертання плоскої області D навколо осі, що її не перетинає і розташована в площині області D, дорівнює добутку довжини кола, яке отримується від обертання центра ваги області D навколо цієї осі, на площу SD області D.



Якщо віссю обертання вісь Ох, відповідна формула має вигляд:

.

Задача1: Знайти координати центра ваги С півкола АВ , використовуючи першу теорему Гульдіна.

Задача2: Застосовуючи другу теорему Гульдіна, знайти координати центра ваги С області D, що обмежена однією аркою циклоїди

x=a(t – sin t), y=a(t – cos t), 0 ≤ t ≤ 2π і віссю Ох.



База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка