В історії науки було небагато людей, які працювали б у таких численних, різних областях духовного і практичного життя, як Лейбніц



Скачати 155.44 Kb.
Дата конвертації24.04.2016
Розмір155.44 Kb.
В історії науки було небагато людей, які працювали б у таких численних, різних областях духовного і практичного життя, як Лейбніц. Майже всі галузі природознавства і гуманітарних наук, техніка і політика були в сфері його активного наукового пошуку, математичні відкриття Лейбніца започаткували нову епоху історії математики.

Лейбніц народився в Лейпцигу – місті однієї з трьохсот карликових німецьких держав. Він усе життя залишався підданим мікроскопічного герцогства і служив правителям інших таких же немічних держав. Деякі історики науки вважають, що далекі предки вченого були слов’янами і саме прізвище «Лейбніц» є онімечене «Лубенець».

Майбутньому вченому було два роки, коли закінчилася спустошлива 30-літня війна, жертвами якої стали 10 млн. найпрацездатнішої частини населення країни. Ф.Енгельс писав про це страхіття: «Спустошення і збезлюднення були безмежні. Коли настав мир, Німеччина була переможеною – безпорадною, розтоптаною, розтерзаною, стікаючою кров’ю…»

Батько Лейбніца – професор етики і юрисконсульт Лейпцігського університету помер, коли хлопчикові йшов сьомий рік. Ще до школи у великій домашній бібліотеці Готфрід безсистемно читав усе, що потрапляло до рук. Не зупиняло навіть те, що багато книжок було написано невідомою йому латинською мовою. Зіставляючи тексти під картинками із сюжетом картинок, хлопчик сам оволодів латинською мовою, вільно розмовляв і писав латинські вірші. Швидко він оволодів і давньогрецькою мовою. У Лейбніца взагалі були виключні здібності до мов.

У випускному класі школи на тринадцятилітнього Лейбніца величезне враження справила логіка. Його приголомшило те, що нескінченну різноманітність висловлень можна охопити і класифікувати за допомогою невеликої кількості логічних форм. У нього виникає думка, що логіка може охопити всі галузі людського знання, дати для нього правила мислення, стати незамінним засобом пізнання істини.

Після закінчення школи Лейбніц стає студентом Лейпцігського університету, де вивчає філософію, юриспруденцію і елементарні розділи математики. Він знайомиться з філософією Декарта (1596–1650) і, щоб досконало оволодіти нею, починає вивчати математику. А оскільки в Лейпцігському університеті не було відомих математиків, то він рік навчається в Ієнському університеті, де слухає лекції професора Вейгеля.

Повернувшись у Лейпциг Лейбніц готується стати юристом. Дістає степінь магістра філософії, бакалавра прав, а в 1666 р. у містечку Альтдорф блискуче захищає дисертацію на ступінь доктора прав і його запрошують на посаду професора. Лейбніц відхиляє цю почесну пропозицію і виїздить до Нюрнберга.

У 1666 р. Лейбніц публікує трактат «Міркування про комбінаторне мистецтво», в якому вперше викладає контури свого грандіозного плану створення «загальної характеристики». Це мав бути «алфавіт людських думок», універсальна логічна мова, в якій поняття й елементарні висловлення позначаються системою точно встановлених знаків, логічні міркування – формулами, а ланцюги висловлень – рівняннями. Таким чином формалізуються будь-які міркування. Із цих міркувань за допомогою строго означених правил (операцій) над введеними символами можна діставати нові висловлення. Отже, можна проаналізувати і вивести нові залежності, нові закони в будь-якій дедуктивній теорії. Загальна характеристика мала стати всеохоплюючою алгеброю, застосовною до різних родів пізнання. Звідси знаменитий афоризм ученого: «Не будемо сперечатися, обчислимо істину». Це була ідея математизації всієї науки і логізації математики, в якій втілювалися перші кібернетичні мрії. Вони дуже випереджали час і не були по-справжньому оцінені сучасниками, але стали визначальними в усій багатогранній діяльності вченого і значною мірою сприяли успіху в його наукових пошуках.

Незабаром життя Лейбніца робить крутий поворот. Він стає юристом і радником курфюрста Майнцького і через деякий час за його дорученням виїздить до Парижа. Там він знайомиться з вченими, в тому числі й із знаменитим Крістіаном Гюйгенсом (1629–1695). Щоб зрозуміти подаровану Гюйгенсом книгу «Маятникові годинники», Лейбніц, як він сам писав, «зарився» в праці Декарта, Ферма (1601–1665), Валліса (1616–1703), Паскаля (1623–1662).

Учені ХVІ–ХVІІ ст. були зосереджені на проблемі створення загальних методів розв’язування можливо більш широких класів задач, які виникали в природознавстві, техніці й самій математиці. З розв’язуванням цієї проблеми пов'язане виникнення буквеної алгебри Вієта (1540–1603) і аналітичної геометрії Декарта.

Головнішими для математиків ХVІІ ст. стали два види задач: обчислення площ, об’ємів і центрів ваги фігур зі складовими криволінійними границями та проведення дотичних до кривої лінії. Розв’язуванням їх займалися вже вчені стародавньої Греції, але саме в ХVІІ ст. деякі визначні математики і серед них Йоганн Кеплер (1571–1630), Бонавентура Кавальєрі (1598–1638), Ферма, Паскаль, Ісак Барроу (1630–1677) дістали нові визначні результати, з яких викристалізовувалося невідоме раніше числення. Так, кілька математиків, незалежно один від одного, здобули результат, який у сучасних символах записується . У процесі розв’язування задач на проведення дотичних і обчислення екстремумів вимальовувалося фундаментальне значення для таких задач виразу . Нарешті вчені встановили і взаємну оберненість задач на обчислення квадратур кривих ліній і відшукання дотичної, проведеної через дану точку кривої. Можна сказати, що нове числення вже носилося в повітрі, хоча для нього ще багато чого не вистачало. Так, наприклад, не були сформовані спеціальні поняття, символіка. А лише на їх основі можна було об’єднати всі здобуті результати і створити єдиний, цілісний метод, який охоплював би всі задачі, що входили до цієї нової галузі математики. Цей вирішальний крок – підсумок внеску всіх названих вчених у формування нової надзвичайно важливої галузі математики здійснили два генії – Ісак Ньютон (1642–1727) і Лейбніц.

У Парижі математичний геній Лейбніца вибухнув зненацька і з небаченою силою. За окремими способами розв’язування задач на обчислення площ, об’ємів і центра ваги фігур, екстремумів функцій, проведення дотичної до кривої в заданій точці, за ідеями, які висували при цьому Кеплер, Декарт, Ферма, Паскаль, Гюйгенс та інші вчені, Лейбніц розгледів грандіозні контури нової математичної теорії. Його результати були такими значними, що в 1673 р. він вирішує «з перших рук» познайомитися з роботами англійських математиків і на два місяці виїздить у Лондон. Там він з успіхом доповів про ідею своєї лічильної машини, яка могла виконувати чотири арифметичні операції, підносити до квадрата і добувати квадратні корені. Проект дістав позитивну оцінку англійських вчених і незабаром після від’їзду з Лондона Лейбніц був обраний членом Лондонського королівського товариства. Це була перша академічна почесть в його житті. У Лондоні Лейбніц зав’язав нові знайомства і хоча з Ньютоном особисто не зустрічався, від інших математиків він міг чути про ньютонів варіант числення нескінченно малих – метод флюксій.

Ньютон вже зробив основні відкриття в галузі математичного аналізу. Це було в 1665–1667 роках, коли він, рятуючись від чуми, провів два роки «чумної відпустки» в рідному селі Вульсторпі, займаючись інтенсивною науковою діяльністю. Але вірний своїй звичці, він поклав написані роботи в сейф і про них знали лише наближені друзі вченого. Щоб уникнути дискусій, Ньютон все життя страшенно не любив друкуватися. Він умів зосереджуватися, забувши про все, продумувати свої теорії і не хотів, щоб друковані праці, викликавши дискусії, відволікали його від цього заняття.

Повернувшись до Парижа, Лейбніц інтенсивно працює над математичними дослідженнями і десь в жовтні-листопаді 1675 р. завершує створення нової теорії. «Дивно бачити, що входиш у новий рід числення, що далекий від Вієтового, як небо від землі», – захоплено пише Лейбніц, ввівши поняття нескінченної суми нескінченно малих доданків.

Пізніше вчений згадував, що, коли уперше був у Лондоні, він ще мало розбирався в математиці, а через два роки відкрив диференціальне числення.

Це подібно до чуда, яке можна, проте, пояснити. Усе життя Лейбніц відзначався невтамованою спрагою до нових знань, невтомною допитливістю і завжди був готовий вчитися. У листі Якобу І Бернуллі (1654–1705) 3 жовтня 1703 р. він назвав себе «тим, хто вчиться найбільше з усіх смертних». Сучасників вражала фантастична ерудиція і працелюбність Лейбніца. Він міг працювати кілька діб, не перериваючи роботи навіть в дорозі. Був глибоко переконаний, що пізнання не має меж, а сила логіки і розуму нездоланні і здатні створити математичну модель світу з усією його страхітливою складністю. Лейбніц переосмислював усе, що опановував; бачив нові теорії і факти по-своєму, згідно зі своїми принципами пізнання істини. Не заради її самої, а завжди з виходом в практику, для якогось конкретного блага.

«Мета науки, – писав він, – добробут людства, тобто примноження всього, що корисно людям, але не заради того, щоб потім віддатися неробству, а для підтримання доброчинності і розширення знань. Кожний талант зобов’язаний внести в це свою лепту».

Математичні відкриття Лейбніца були лише частиною його грандіозного задуму пізнання світу як єдиного гармонійного утворення. Він був переконаний, що існує єдиний, загальний метод пізнання світу. Прообразом цього методу вважав математичний метод, який не є універсальним, але на його основі можна побудувати такий алгоритм (термін Лейбніца), який дасть змогу оперувати з поняттями, як математика оперує з величинами.

Енергії Лейбніца було тісно залишатися в одній математиці. 5 жовтня 1695 р. він писав одному зі своїх кореспондентів: «Немає слів, щоб описати, який я не зосереджений… У мене стільки нового в математиці, стільки думок у філософії, стільки інших літературних заміток, яким я не можу дати загинути, що я часто не знаю, за що раніше братися, і я відчуваю, як правий був Овідій, вигукуючи: «Достаток робить мене жебраком!». У такому ритмі й напрузі він працював усе життя.

Перші наукові журнали в Європі почали виходити з 1665 р. у Парижі і Лондоні. Тому обмін інформацією про нові відкриття відбувався у формі листування. Листи, якими обмінювалися вчені, виконували роль наукової періодики. Епістолярна спадщина Лейбніца становить 13500 листів до 1200 адресатів. У кожному з них живий голос вченого, неспокійний, зацікавлений справами всеєвропейської республіки вчених, в якій він скоро став некоронованим королем. Жваве листування налагоджує Лейбніц і з англійськими вченими. Він розповів їм про свої математичні відкриття, з Лондона ж повідомляли, що Ньютон відкрив новий математичний метод розв’язування задач на квадратури і проведення дотичних. На початок 1676 р. і Ньютон, і Лейбніц розуміли, принаймні здогадувалися, що різними шляхами вони підійшли до однієї і тієї самої мети. Напередодні другої поїздки в Лондон в 1676 р. Лейбніц одержує від президента Лондонського королівського товариства лист, написаний самим Ньютоном. Шанобливим холодним тоном Ньютон розповів про свою знамениту формулу бінома і ні слова не сказав про метод флюксій. Лейбніц відповів через три дні і оголосив про своє відкриття методу нескінченно малих. Правда, що суть його міг збагнути лише той, хто сам ним займався. Восени 1676 р. Лейбніц знову в Лондоні, але й цього разу не зустрічався з Ньютоном. Навіть не знав, що Ньютон йому відповів. Лист дійшов до адресата в червні 1677 р. у Ганновері, де той був на місці своєї нової служби. Відповідь Ньютона свідчить про недовір’я і підозри, які визрівали навколо відкриття нового числення. Ньютон зашифрував суть свого методу набором літер і цифр. Лейбніца це образило. Він у загальних фразах (наслідуючи Ньютона) виклав у листі до нього основну ідею свого диференціального числення. Ньютон не відповів. Тим часом за десятиліття 1677–1687 рр. лейбніцівське диференціальне числення ставало надбанням європейської науки. У травні 1684 р. у Лейпцігському журналі «Праці вчених» Лейбніц друкує статтю «Новий метод максимумів і мінімумів…». На шести сторінках, у надзвичайно стислій формі було викладено основні поняття, правила диференціювання суми, різниці, добутку, частки і довільного степеня, відшукання екстремумів, точок перегину та інші правила. Це був конспект диференціального числення. Останній термін теж належить Лейбніцу. Він особливо підкреслював алгоритмічність і широту застосувань свого методу: «Якщо знати алгоритм цього числення, яке я називаю диференціальним, то всі інші диференціальні рівняння можна дістати за допомогою загального обчислювального прийому…». Стаття була надзвичайно складна. Йоганн І Бернуллі (1667–1748) назвав її «скоріше загадкою, ніж поясненням». Її не завжди могли подолати навіть знаючі математики. І все-таки знайшлися такі, які подолали. Серед них були згадувані вже швейцарці брати Йоганн І і Якоб І Бернуллі, щоправда, на роздуми пішло більше року.

Через два роки після «Нового методу…» в тому самому лейпцігському журналі Лейбніц друкує мемуар «Про глибоку геометрію і аналіз неподільних, а також нескінченних» – першу друковану роботу з інтегрального числення. Тут вперше з’являється знак запис . Знак ∫ нагадує подовжену букву S (перша в латинському слові Summa – сума). Термін «інтеграл» (від. лат. integer – цілий, тобто ціла, вся площа) запропонував у 1690 р. Йоганн І Бернуллі, Лейбніц прийняв його неохоче, він користувався виразом «сума всіх y dx».

Для Лейбніца та його послідовників у новому численні залишалося ще багато незрозумілого, загадкового. Але вирішальний крок було зроблено. Відповідно до потреб часу на зміну математиці сталих величин приходила математика, об’єктом дослідження якої стали рухи.

Основні проблеми природознавства – фізики, механіки, астрономії і техніки привели до формування двох операцій – диференціювання й інтегрування, результатами яких були фундаментальні поняття – відповідно похідної і інтеграла.

Похідною даної функції f(x) у даній точці називається скінченна границя:



Похідна характеризує швидкість перебігу найрізноманітніших процесів, які відбуваються в живій і неживій природі, прискорення перебігу різних явищ, щільність розподілу маси речовини в даному її об’ємі і багато інших важливих понять, які природодослідники використовують для дослідження явищ навколишньої дійсності.

Інтеграл – це границя суми нескінченно зростаючого числа нескінченно малих доданків:


Інтеграл характеризує довжину дуги, масу, площу, об'єм і т.д.

Здається, що в поняттях похідної й інтеграла з погляду математики нема чогось нового. Розглянемо, наприклад, обчислення інтеграла. У першу чергу обчислюємо значення функції при заданих значеннях аргументу . Потім перемножуємо обчислені значення функції на відповідні прирости аргументу: , , … , і підсумовуємо знайдені добутки: (1). Тепер настає кульмінація. Ми обчислюємо границю суми (1) за умови і . Кожну з виконуваних до цього операцій вже виконували, взяті ж усі разом, вони породжують якісно новий математичний об’єкт – визначений інтеграл. Обчислення визначених інтегралів доводиться виконувати скрізь, де мають справу зі змінними величинами, і всі операції розглядають як єдину нову операцію – інтегрування.

Створення Лейбніцем (а незалежно й раніше від нього Ньютоном) аналізу нескінченно малих відкрило нову епоху розвитку математики і всього математичного природознавства. Ф.Енгельс писав про цю перемогу людської думки: «З усіх теоретичних успіхів знання навряд чи який-небудь вважається таким високим тріумфом людського духу, як винайдення числення нескінченно малих у другій половині ХVІІ століття»» бо справді, «лише диференціальне числення дає природознавству можливість зображати математично не тільки стани, а й процеси: рух». Справді, відкриття похідних пробудило нерухомий і застиглий світ рівнянь від тисячолітнього сну. Усе ожило, зарухалося, математика підпорядкувала собі (або в її володіння увірвалися) змінні величини. Вони давали можливість розв’язувати задачі про рухи тіл, які відбувалися під дією певних сил. Щоправда, такі задачі приводили вже до диференціальних рівнянь, які містили шукані функції та їхні похідні, а розв’язками їхніми були не значення шуканих величин, а функціональні залежності між ними. Сьогодні царство диференціальних рівнянь майже безмежне, вони керують скрізь, де здійснюються кількісні дослідження явищ природи. І доводять єдність її, про що писав В.І.Ленін: «Єдність природи виявляється в «разючій аналогічності» диференціальних рівнянь, які стосуються різних сфер явищ».

Усе це буде потім, а тим часом на службі у ганноверського правителя Лейбніц розгортає надзвичайно бурхливу діяльність. Користуючись становищем придворного вченого і мистецтвом дипломата, він робить усе від нього залежне, щоб досягнення науки використовувало людство. Для цього прагне зацікавити монархів ідеями створення академій, і вони організовуються в Берліні і Відні. Учений від самого початку прийняв близько до серця справу прогресивного перетворення Росії. П’ять разів зустрічається з Петром І і офіційно зараховується на службу до росіян. З власної ініціативи вчений багато раз систематично і наполегливо звертається до Петра І та його міністрів з різними програмами, проектами, записками. Він розглядав Росію, як країну великого всесвітньо-історичного значення і робив все, щоб сприяти розвитку російської науки і культури. Учений накреслює перші заходи, які потрібно здійснити для заснування майбутньої Петербурзької Академії наук, пропонує з’єднати каналом Волгу і Дон, заснувати в Петербурзі, Москві, Києві і Астрахані університети, багато уваги приділяє зміцненню могутності російських збройних сил. Професор В.І.Чучмарьов свою книжку «Лейбніц і російська культура» закінчує такими словами: «Він був ревним прихильником добросусідських відносин Німеччини і Росії, самовіддано служив їй і невтомно боровся за зміцнення збагачуючого їх обох технічного, наукового і культурного співробітництва». Образ Лейбніца – відданого друга передової Росії, великого вченого, славного просвітителя і гуманіста – залишиться назавжди живим і хвилюючим у вдячній пам'яті європейських народів і українського в тому числі.

Лейбніц мріяв про загальний мир – примирення ворогуючих релігій, воюючих європейських країн. Був захоплений думкою про те, щоб зібрати до місця всі сили європейської науки, бо вважав головними рушіями прогресу не «сильних світу», а творців науки: «…бо, думається мені, для досягнення великої мети, до якої йде людство, люди, подібні Архімеду, Галілею, Кеплеру, п-ну Декарту, п-ну Гюйгенсу, п-ну Ньютону важливіші, ніж полководці, і певною мірою рівні великим законодавцям…». Особливо він шанував тих, хто здатний до великих наукових звершень, бо «…ставити наукові експерименти, добувати факти, словом, нагромаджувати позитивні знання може багато хто; однак лише ті, хто подібно п-ну Ньютону вміє скористатися цими фактами для створення великого храму науки, ті, кому дано розгадати потаємну суть речей, становлять, якщо можна так висловитися, вибране товариство всевишнього, коло його особистих радників…».

Заради цього його фантастичне за розміром листування, проекти наукових установ і даремні пошуки «освічених монархів», які могли б стати виконавцями його планів. Трагедія вченого в тому, що його плани в принципі не могли бути реалізованими. Ученого гнітила й роздвоєність його становища. На початок 700-х років слава Лейбніца вже досягла всеєвропейського масштабу. Зустрітися і говорити з ним вважали за честь учені і королі, а він був лише найманцем при дворі третьорозрядного феодального князька. І чим більше росла його слава, тим з більшою підозрою і недоброзичливістю стежили за ним з Лондона. Визрівав конфлікт за пріоритет відкриття нового числення. На британських островах чекали зачіпки, щоб нанести удар. І нанесли його в 1710 р., коли один новоспечений член Лондонського королівського товариства в друкованому органі товариства звинуватив Лейбніца в тому, що той списав свій метод з метода флюксій Ньютона. Учений намагався захистити свою честь, але не знайшов підтримки ні в Лондоні, ні в Ганновері. Йому судилося пережити велику несправедливість долі. Йому дорікали, що він відволікається від виконання службових обов’язків частими поїздками, листуванням, писанням наукових праць. Лейбніц захищався, посилаючись на те, що республіка вчених чекає від нього відкриттів. Останні роки вчений зі світовим ім'ям був самітнім. Жив на російську заробітну плату. У травні 1716 р. він почув останній вирок у тяжкому поєдинку за пріоритет від самого Ньютона. У надрукованій французькою мовою замітці Ньютон писав: «Я не заперечую, що пан Лейбніц міг відкрити його (диференціальне й інтегральне числення) сам. Але це було вже після мене, а кому невідомо, що другий винахідник не має права на винахід». Через п’ять місяців Лейбніца не стало при дивних обставинах. Смерть настала через годину після того, як вчений прийняв запропоновані знайомим єзуїтом «домашні ліки». Тіло покійника місяць лежало в підвалі церкви і тільки 14.ХІІ.1716 р. про нього згадали, щоб поховати. Домовину людини, яка була гордістю нації і залишила їй близько 75000 окремих праць супроводжував лише секретар покійника. Його опустили в загальну яму, в якій ховали бездомних жебраків.

Науковий подвиг Лейбніца викликає подив і захоплення. Його творчість – унікальне і неповторне явище в історії науки. Ним захоплювався Карл Маркс. У листі Ф.Енгельсу він писав: «Ти знаєш, як я захоплююся Лейбніцом».

Дуже влучно схарактеризував Лейбніца Герцен. Він писав: «…Лейбніц – людина, яка майже зовсім очистилася від середніх віків, усе знає, все любить, усім співчуває, на все розкритий, з усіма знайомий в Європі, з усіма листується. У ньому немає пихатої схоластики. Читаючи його, відчуваєте, що настає день, зі своїми справжніми турботами, коли забуваються марення і сновидіння; відчуваєте, що досить дивитися у телескоп, – час узяти збільшувальне скло; досить міркувати про одну субстанцію, пора поговорити про багато чисельну множину монад». Цим він завжди залишиться близьким і зрозумілим поколінням вдячних нащадків».


Задачі Лейбніца
1. Довести, що
2. Сума квадратів відстаней довільної точки Р від вершин трикутника дорівнює сумі квадратів відстаней од вершин до центра ваги трикутника з потроєною відстанню од центра ваги до точки Р.
3. Широко відома числова таблиця – трикутник Паскаля і мало хто знає про трикутник Лейбніца, який також має багато цікавих властивостей.









а) Виявіть зв'язок між відповідними числами трикутників Паскаля і Лейбніца, і доведіть виявлений зв'язок.
б) Доведіть, що (Установіть для цього місця розташування чисел у гармонійному трикутнику і запишіть суми для і ).
4. Із тотожності: для будь-якого парного n

доведіть формулу Лейбніца для числа π:

Література
1. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. М., Просвещение, 1970.
2. История математики с древнейших времён до начал ХІХ столетия. В 3-х томах. Математика ХVІІ столетия. М., Наука, 1970, т.2.
3. Нарский И.С. Готфрид Лейбниц. М., Мысль, 1972.
4. Погребысский И.Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М., Наука, 1971.
5. Фрейман Л.С. Творцы высшей математики. М., Наука, 1968.
6. Чучмарёв В.И. Г.–В. Лейбниц и русская культура (Из истории международных связей). М., Высшая школа, 1968.
7. Шингарев Г. Советники всевышнего. – В кн.: Пути в незнаемое (писатели рассказывают о науке). Сб. 12-й. М., Советский писатель, 1976.
8. Конфорович А.Г. Колумби математики. – К.: Рад. Школа, 1982.
9. У світі математики: Зб. наук.-попул. статей / За ред. М.Й.Ядренка. – К.: Рад. Школа, 1981.

лейбніц.jpg


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка