УРОК 24
Тема уроку: Приклади задач, що приводять до поняття інтеграла. Означення інтеграла
Мета уроку: Познайомити учнів з задачами, які приводять до поняття інтеграла: задача про площу криволінійної трапеції. Формування поняття інтеграла.
І. Перевірка домашнього завдання.
Перевірити правильність виконання домашніх завдань за записами, зробленими до початку уроку:
№ 3 (розділ IX).
   
№ 3 (розділ X)
II. Самостійна робота.
Варіант 1
1. Для функції f(x) = 3х2 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(0; 1). (4 бали)
2. Знайдіть загальний вигляд первісних для. функцій:
a) f(x) = cos 2x + sin Зх; б) f(x) = . (4 бали)
3. Знайдіть невизначені інтеграли: a) ; б) . (4 бали) Варіант 2
1. Для функції f(x) = 4х3 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(0; 1). (4 бали)
2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:
a) f(x) = ; б) f(x) = . (4 бали)
3. Знайдіть невизначені інтеграли: a) ; б) . (4 бали)
Відповідь: В-1. 1. F(x) = x3 + 1. 2. a) F(x) = sin2x – cos3x + C;
б) . 3. а) ; б) tg(3x - 1) + С.
В-2. 1. F(x) = х4 + 1, 2. a) F(x) = tg 2х + ctg х + С;
б) . 3. a) ; б) sin (3х + 2) + С.
III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про криволінійну трапецію та її площу.
У попередніх класах ви навчилися обчислювати площі прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, довільного многокутника, а також площі круга та його частин.
У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.
Тепер, використовуючи знання про первісну функції, ми навчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями.
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [ а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [ а; b] (рис. 88).
Н  ехай треба обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної функції у = f(x), яка приймає додатні значення, з боків відрізками прямих x = а, х = b, знизу відрізком [ а; b] , який лежить на осі ОХ (рис. 89).
Розіб'ємо відрізок [a; b] на л рівних частин й позначимо абсциси точок поділу через х1, x2 ..., xn-1, a = xo, b = xn: а = xo < х1 <x2 < ... < xn-1 < xn= b.
Н а кожному із цих відрізків побудуємо прямокутники, як показано на рисунку 89. Висота прямокутника, побудованого на відрізку [хо, х1], дорівнює уо = f(xo); висота прямокутника, побудовано на відрізку [x1, х2], дорівнює у1 = f(x1) і т. д.; висота прямокутника, побудованого на відрізку [xn-1, хn], дорівнює f(xn-1)·
Довжина основи кожного прямокутника дорівнює . Слід зазначити, що
x1 – xo = x2 – x1 = x3 – x2 = … = xn – xn-1 = x
Об'єднання всіх n прямокутників є східчаста фігура. Позначимо її площу через S , тоді
Sn = f(xo) ·Δ x + f(x1)·Δ x + f(x2)·Δ x + ... +f(xn-1)·Δ x =(f(xо)+f(x1)+···+f(xn-1))Δ x.
Якщо n→ , то Δx→ 0 і, оскільки функція у = f(х) неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криволінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від Sn, тобто Sn S. При досить великих п ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Природно вважати, що Sn при цьому буде наближатися до числа, яке й приймемо за значення площі криволінійної трапеції.
Отже,  .
Розглянемо деякі приклади:
Приклад 1. Обчисліть площу трапеції, обмеженої лініями у = 2 х, у=0, х=1, х=2 (рис. 90).
Розв'язання
Площу цієї трапеції можна обчислити за відомою формулою із курсу геометрії
  .
Для обчислення площі цієї трапеції скористуємося способом, який описаний вище. Розіб'ємо відрізок [1; 2] на n рівних частин:
1 = xo < x1 < x2 < ... < хn-1 < хn = 2.
На кожному з цих відрізків (рис. 91) побудуємо прямокутники, як це показано на рисунку. Об'єднання всіх n прямокутників є східчаста фігура, площу якої позначимо через Sn. Тоді 
 .
У дужках ми одержали суму членів арифметичної прогресії (аn), у якій а1 = 1, d = , n — число членів, тоді:
 .
Таким чином, 
Площа S даної трапеції виражається формулою .
Отже, .
Як бачимо, результати обчислення площі трапеції різними способами співпали.
Відповідь: 3.
П риклад 2. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = х2, у = 0, x = 1, розділивши відрізок [0; 1] на 10 рівних частин і побудувавши вписану східчасту фігуру із прямокутників (рис. 92).
Розв'язання
Довжина основи кожного прямокутника дорівнює  ; висоти прямокутників дорівнюють:  ,  , …,  або  ,  , …,  . Площа східчастої фігури дорівнює:
 = =  = 0,285
Площа S криволінійної трапеції приблизно дорівнює 0,285:
Відповідь: " 0,285.
Виконання вправ________________________________
1. Які із заштрихованих на рисунку 93 фігур є криволінійними трапеціями, а які — ні?

Відповідь: а), г), є) — зображення криволінійних трапецій.
2. Побудуйте криволінійні трапеції:
а) у = x2, x = 1, x = 2, у = 0; б) у = sin х, x = 0, x = π, y = 0;
в) у = е·*", x = 0, x = 1, y = 0; r) y = , x = 0, x = 4, у = 0.
В ідповідь: рис. 94
Рис. 94
3. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 2х''1, х = 0, х = 4, у = 0, розділивши відрізок [0; 4] на чотири рівні частини і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.
Відповідь: 7,5.
4. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями
у=  , x = l, x = 4, y = 0, розділивши відрізок [1; 4] на 6 рівних частин і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.
Відповідь: 3,186.
IV. Сприймання і усвідомлення задачі про знаходження шляху, пройденого тілом.
М атематика вивчає різні зв'язки між величинами. Важливі приклади таких зв'язків дає механічний рух. Ми вже багато разів зверталися до прикладу руху матеріальної точки по осі. Між положенням x(t) (координатою) точки і її швидкістю v(t) існує зв'язок:
v(t) = x’(t).
Почнемо знову із задачі про механічний рух. Нехай точка рухається з постійною швидкістю υ = υ0 . Графіком швидкості в системі координат (t; υ) буде пряма υ = υ0, паралельна осі часу t. Якщо вважати, що в початковий момент часу t = 0 точка знаходилась в початку координат, то шлях її s, пройдений за час t обчислюється за формулою s = υ0 t. Величина υ0 t являє собою площу прямокутника, обмеженого графіком швидкості, віссю t і двома вертикальними прямими, тобто шлях точки можна обчислити як площу криволінійної трапеції (рис. 95). Звернемося до випадку нерівномірного руху. Тепер швидкість можна вважати постійною тільки на маленькому проміжку часу.
Р озіб'ємо проміжок часу (рис. 96) [0;Τ] на n рівних частин ;
0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn-1 < tn = Τ,
t1 - t0 = t2 – t1 = …= tn – tn-1 = Δt.
Шлях, пройдений тілом за проміжок часу [tk; t+Δt], де k = 0, 1, ..., n - 1 приблизно дорівнює добутку υ(tk)·Δt, а шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0; Τ], приблизно дорівнює
 .
Якщо n → , то Δt → 0, і тоді шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0; T], який позначимо через S, дорівнює .
Отже, S = .
V. Сприймання і усвідомлення поняття інтеграла.
О бидві задачі, які ми розглянули, розв'язувалися одним і тим самим методом, яким розв'язують багато інших задач (знаходження роботи змінної сили, знаходження маси неоднорідного стержня і т. д.). Узагальнемо цей метод. Розглянемо неперервну функцію у = f(x), невід'ємну на відрізку [а; b] (рис. 97). Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин а = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < хn = b, довжина кожної частини дорівнює = Δx.
Утворимо суму S добутків f(xi)·Δx, де і = 0; 1; ... ; n - 1, яка називається інтегральною сумою: Sn = f(xo)·Δx + f(x1)·Δx + f(x2)·Δx + ... + f(xn-1)·δx·.
Знайдемо S = .
За означенням цю границю називають інтегралом функції y = f(x) від a до b і позначають (читають так: «інтеграл від a до b еф від x де ікс»).
У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S — першу букву слова summa (сума). Підінтегральний вираз f(x)dx нагадує вигляд кожного окремого доданка f(x1)·Δx інтегральної суми. Множник dx в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування. Таким чином, = .
Отже, , якщо f(x) 0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0.
Виконання вправ
1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:
a) ; б) ; в) ; r) .
Відповідь: рис. 98.
  
Рис. 98
2. Запишіть за допомогою інтеграла площі фігур, зображених на рисунку 99.
Відповіді: а)  ; б)  ; в)  ; г)
Слід зазначити, що в означенні інтеграла відрізок [a; b] можна було б ділити на n не обов'язково рівних частин. Але в цьому разі довжина найбільшого з відрізків розбиття повинна прямувати до 0, коли n → .
VI. Підведення підсумків уроку.
VII. Домашнє завдання.
Розділ IX § 4 (1—2). Запитання і завдання для повторення розділу IX № 9, 10.
Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями:
у = ; x = 1, x = 2, у = 0, розбивши відрізок [1; 2] на десять рівних частин і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.
Роганін Алгебра 11 клас, урок 24
Поділіться з Вашими друзьями: |