Тема. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів Мета

1. 
   Організація класу
   
2. 
   Актуалізація опорних занять
   

• 
  Що називають алгебраїчним виразом ?
  

• 
  Чи є відмінність між раціональним виразом і алгебраїчним ?
  

• 
  Який вираз називається трансцендентним ?
  

• 
  Які вирази називаються тотожно рівними?
  

• 
  Як називають цю множину?
  

• 
  Що таке степінь многочлена?
  

• 
  А що ж таке многочлен?
  

3. 
   Пояснення нового матеріалу
   

Будь-який многочлен n-го степеня (n є Z+) від однієї змінної можна записати у вигляді

де а_n, а_{n -1, …} а₀ –деякі дійсні числа (коефіцієнти многочлена), причому ; Коефіціцієнтиі називають відповідно його старшим коефіцієнтом і вільним членом. Якщо одночлени у многочлені впорядковані за спаданням степенів змінної, то таку форму запису многочлена називають канонічно і кажуть, що многочлен Р(х) є многочлен канонічного (стандартного) вигляду. Якщо многочлен n-го степеня, то можна позначити. Всякий многочлен нульового степеня можна записати у вигляді = і умова для нього повинна виконуватися так, що

Число 0 вважають многочленом і називають його нуль-многочленом.

• 
  А як ви гадаєте, який степінь цього многочлена?
  

• 
  Як ви думаєте, коли два многочлени і
  

Як відомо, многочлени можна додавати, віднімати, множити.

• 
  Що є результатом цих дій? (многочлен)
  

Ділення буває з остачею, і ділення націло.

При діленні націло многочленів необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова є достатньою.

• 
  Чому? Наведіть приклад.
  

• 
  Що означає поділити число a на b з остачею ?
  

де степінь многочлена менший степеня ;

Якщо є нуль-многочленом, то кажуть, що многочлен ділиться націло на многочлен і записують .

Основними способами для знаходження неповної частки і остачі від ділення многочлена на многочлен є:

1. 
   ділення кутом;
   
2. 
   метод невизначених коефіцієнтів;
   
3. 
   схема Горнера.
   

1. 
   Ділення кутом:
   

Поділити на

(пояснення вчителя)

_

_

• 
  Чи можна продовжувати ділити? (ні)
  
• 
  Чому? (Учні роблять висновок).
  

Поділити Р(х):Q(х), якщо Р(х)=, Q(х)=

(учень біля дошки)

_

_

P(x)=Q(x)()+().

2. 
   Метод невизначених коефіцієнтів
   

Наприклад: поділити Частку від ділення будемо шукати у вигляді многочлена 2-го степеня Остачею повинен бути многочлен, степінь якого менший від степеня дільника, тобто d. Невідомі коефіцієнти знайдемо з тотожності розкривши дужки в правій частині і згрупувавши коефіцієнти при однакових степенях змінної х отримаємо:

Отже, .

Пропоную учням самим скласти алгоритм ділення многочленів методом невизначених коефіцієнтів.

Учні «ланцюжком» формулюють та записують алгоритмічний припис.

1. 
   Записати многочлен-частку з відомим старим коефіцієнтом.
   
2. 
   Записати остачу (степінь менший від степеня дільника).
   
3. 
   Записати тотожну рівність.
   
4. 
   Звести подібні члени в правій частині рівності.
   
5. 
   Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частині рівності.
   
6. 
   Розв’язати систему.
   
7. 
   Записати частку.
   
8. 
   Записати остачу.
   

Поділити методом невизначеих коефіцієнтів 2x³ - 5x + 3 на x – 1.

Відповідь: 2x³ - 5x + 3=(x – 1)(2x² +2x – 3).

• 
  З якими труднощами ви зустрілись при розв’язанні цього прикладу?
  

Вільям Джордж Горнер (Вільям Джордж Горнер народився в 1786 році в місті Бристоль в Англії. Отримав освіту в Кінгствудській школі Бристоля. У віці 14-ти років він став помічником директора в Кінгствудській школі й директором 4 роки після того. Він поїхав з Бристоля и заснував свою власну школу в 1809 році в Баті.

Основні праці з алгебри. У 1819 р. опублікував спосіб наближеного обчислення дійсних коренів многочлена, який називається тепер способом Руффіні-Горнера (цей спосіб був відомий китайцям ще в XIII ст.). Робота була надрукована у Філософських роботах Королівського наукового співтовариства.

В XIX — на початку XX століття метод Горнера займав значне місце в англійських і американських підручниках з алгебри. Де Морган показав широкі можливості методу Горнера в своїх роботах.

Ім’ям Горнера названа схема розподілу многочлена на двочлен X–A.

Горнер помер 22 вересня 1837 року.

3. 
   Схема Горнера
   

Нехай поділимо многочлен а остачею буде деяке число R, -неповна частка, то

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної х у лівій і правій частині рівності та отримаємо:

Звідси:

……………………………….

Обчислення за цими формулами зручно записувати у вигляді таблички, названої на честь англійського математика Джорджа Горнера (1786-1837) схемою Горнера.

				…..
С

У цій схемі кожне число другого рядка, починаючи з другого стовпчика, є сумою попереднього числа, помноженого на с, і числа, що розміщене над ним.

Знайти неповну частку та остачу від ділення многочлена

Виконаємо ділення за схемою Горнера.

Пояснення вчителя. У верхньому рядку розставляємо коефіцієнти діленого. (Якщо в ньому не вистачає якогось члена, то замість коефіцієнта ставимо 0).

Цифру в другому стовпчику, що відповідає першому коефіцієнту просто зносимо вниз.

Множимо число з першого стовпчика на число із другого і додаємо коефіцієнт із наступного.

Множимо число із першого стовпчика на число, що вийшло в попередній дії (третій стовпчик) й додаємо до цього коефіцієнт з наступного стовпчика.

За аналогією знаходимо число для останнього стовпчика.

(Число в останньому стовпчику - це остача).

Виконаємо ділення за схемою Горнера.

	1	-4		0	-1	-5
2		2·1+(-4)= -2	(-2)·2+3= -1	2·(-1)+0)= -2

Неповна частка: .

4. 
   Закріплення умінь і навичок
   

Знайдіть числа a і b з тотожної рівності:

а)

a-6=-8,

3b=9

b=3

-3a=6

Відповідь: a=-2, b=3

б)

a+2=5, a=3, a=3,

b+a-4=3, 4+3-4=3, b=4.

b-2a=-2, 4-2a=-2,

2b=8; b=4;

Відповідь: a=3, b=4.

в)

Q(x)=

_

_

_

_

Знайти неповну частку та остачу, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів:

б)

a=2, a=2,

b=0, b=0,

c-a=0 c=0,

d-b=3, d=3,

L-c=-4, L=-4

Відповідь:

– неповна частка

3х-4 – остача.

Користуючись схемою Горнера, знайти остачу від ділення многочлена на двочлен:

5. 
   Завдання додому
   

Розв’язати № 44.2 (2), 44.4, 44.3. (1 - методом невизначених коефіцієнтів).

6. 
   Підсумок уроку
   

• 
  Що нового дізнались і чому навчились на сьогоднішньому уроці?
  
• 
  З якими методами ділення ви познайомились?
  
• 
  Яка необхідна умова ділення многочленів націло?
  
• 
  Який многочлен є многочленом канонічного вигляду?
  
• 
  Коли краще застосовувати схему Горнера?