       Тернопіль 2014
Козбур Галина Євгенівна
вчитель математики
Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів
для 8 класу
Тема. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів
Мета. Дати означення многочлена стандартного вигляду, розвинути в учнів уміння і навички застосовування ділення кутом, методом невизначених коефіцієнтів, схеми Горнера для знаходження неповної частки і остачі від ділення многочлена на многочлен, розвивати логічне мислення; виховувати математичну культуру.
Тип уроку: пояснення нового матеріалу.
Хід уроку
-
Організація класу
-
Актуалізація опорних занять
-
Що називають алгебраїчним виразом ?
(Вираз, що містить знаки дій +, -, , до раціонального степеня та символ знаходження модуля, називається алгебраїчним виразом).
-
Чи є відмінність між раціональним виразом і алгебраїчним ?
(Раціональний вираз, це алгебраїчний вираз, що не містить знаку дії добування кореня і взяття модуля із виразу зі змінною).
-
Який вираз називається трансцендентним ?
(Якщо у виразі є крім +, -, , знаки і символи інших функцій (піднесення до ірраціонального степеня, взяття синуса, косинуса від змінної), то такий вираз називають трансцендентним).
-
Які вирази називаються тотожно рівними?
(Два вирази називають тотожно рівними на деякій множині, якщо значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних із даної множини).
(Областю визначення або областю допустимих значень (ОДЗ)).
-
Що таке степінь многочлена?
(Найвищий із степенів одночленів у записі даного многочлена).
(Раціональний вираз, який не містить знаку дії ділення на вирази, в які входять змінні, називають цілим раціональним виразом або многочленом).
-
Пояснення нового матеріалу
Повідомляється учням тема уроку і його мета.
Будь-який многочлен n-го степеня (n є Z+) від однієї змінної можна записати у вигляді
де аn, аn -1, … а0 –деякі дійсні числа (коефіцієнти многочлена), причому ; Коефіціцієнти і називають відповідно його старшим коефіцієнтом і вільним членом. Якщо одночлени у многочлені впорядковані за спаданням степенів змінної, то таку форму запису многочлена називають канонічно і кажуть, що многочлен Р(х) є многочлен канонічного (стандартного) вигляду. Якщо многочлен n-го степеня, то можна позначити . Всякий многочлен нульового степеня можна записати у вигляді = і умова для нього повинна виконуватися так, що 
Число 0 вважають многочленом і називають його нуль-многочленом.
-
А як ви гадаєте, який степінь цього многочлена?
(невизначений)
-
Як ви думаєте, коли два многочлени і
будуть тотожно рівними на множині R? (а=0; b=1; c=2; d=8)
Як відомо, многочлени можна додавати, віднімати, множити.
-
Що є результатом цих дій? (многочлен)
Розглянемо ділення многочленів.
Ділення буває з остачею, і ділення націло.
Означення: кажуть, що многочлен ділиться націло на тотожно не рівний многочлен Q (x), якщо існує такий многочлен S(x), що для будь-якого x Р(x)=Q(x)·S(x).
При діленні націло многочленів необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова є достатньою.
Многочлен x3 +1 не ділиться націло на многочлен x-1. Якби існував многочлен S (x) такий, що для будь-якого x R виконувалася рівність x3 + 1 = (x – 1)S( x ), то при x = 1 отримали б неправильну рівність 13 + 1 = 0. Якщо одне ціле не ділиться націло на інше, то можна розглядати ділення з остачею.
-
Що означає поділити число a на b з остачею ?
Наприклад, 149=7·21+2.
Теорема: Для будь-якого многочлена , який тотожно не дорівнює нулю, існує єдина пара многочленів щоб виконувалась рівність:
де степінь многочлена менший степеня ;
– ділене;
– дільник;
– неповна частка;
– степінь многочлена з остачею.
Якщо є нуль-многочленом, то кажуть, що многочлен ділиться націло на многочлен і записують .
Основними способами для знаходження неповної частки і остачі від ділення многочлена на многочлен є:
-
ділення кутом;
-
метод невизначених коефіцієнтів;
-
схема Горнера.
-
Ділення кутом:
Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійснювати за алгоритмом ділення «куточком», аналогічно тому, як це роблять при діленні чисел.
Приклад 1.
Поділити на 
(пояснення вчителя)
_
_
-
Чи можна продовжувати ділити? (ні)
-
Чому? (Учні роблять висновок).
Отже,
Приклад 2.
Поділити Р(х):Q(х), якщо Р(х)= , Q(х)=
(учень біля дошки)
_
_
P(x)=Q(x)( )+( ).
– остача. Степінь остачі менший від степеня дільника.
-
Метод невизначених коефіцієнтів
Вчитель. Суть методу проілюструю на прикладі.
Наприклад: поділити Частку від ділення будемо шукати у вигляді многочлена 2-го степеня Остачею повинен бути многочлен, степінь якого менший від степеня дільника, тобто d. Невідомі коефіцієнти знайдемо з тотожності розкривши дужки в правій частині і згрупувавши коефіцієнти при однакових степенях змінної х отримаємо:
a=1; b=2; c=1; d=6.
−2c=4
Отже, .
Пропоную учням самим скласти алгоритм ділення многочленів методом невизначених коефіцієнтів.
Учні «ланцюжком» формулюють та записують алгоритмічний припис.
Запишемо алгоритм ділення многочленів методом невизначених коефіцієнтів:
-
Записати многочлен-частку з відомим старим коефіцієнтом.
-
Записати остачу (степінь менший від степеня дільника).
-
Записати тотожну рівність.
-
Звести подібні члени в правій частині рівності.
-
Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частині рівності.
-
Розв’язати систему.
-
Записати частку.
-
Записати остачу.
Приклад. ( Робота в парах).
Поділити методом невизначеих коефіцієнтів 2x3 - 5x + 3 на x – 1.
Відповідь: 2x3 - 5x + 3=(x – 1)(2x2 +2x – 3).
-
З якими труднощами ви зустрілись при розв’язанні цього прикладу?
У многочлені (діленому) відсутній одночлен із степенем 2. Який біля нього стоїть коефіцієнт? (0).
Вільям Джордж Горнер (Вільям Джордж Горнер народився в 1786 році в місті Бристоль в Англії. Отримав освіту в Кінгствудській школі Бристоля. У віці 14-ти років він став помічником директора в Кінгствудській школі й директором 4 роки після того. Він поїхав з Бристоля и заснував свою власну школу в 1809 році в Баті.
Основні праці з алгебри. У 1819 р. опублікував спосіб наближеного обчислення дійсних коренів многочлена, який називається тепер способом Руффіні-Горнера (цей спосіб був відомий китайцям ще в XIII ст.). Робота була надрукована у Філософських роботах Королівського наукового співтовариства.
В XIX — на початку XX століття метод Горнера займав значне місце в англійських і американських підручниках з алгебри. Де Морган показав широкі можливості методу Горнера в своїх роботах.
Ім’ям Горнера названа схема розподілу многочлена на двочлен X–A.
Горнер помер 22 вересня 1837 року.
-
Схема Горнера
Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів при ділення многочлена на двочлен х-с, де с – деяке число.
Нехай поділимо многочлен а остачею буде деяке число R, -неповна частка, то
. Розкриємо дужки в правій частині та зводимо подібні доданки.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної х у лівій і правій частині рівності та отримаємо:
Звідси: 
……………………………….
Обчислення за цими формулами зручно записувати у вигляді таблички, названої на честь англійського математика Джорджа Горнера (1786-1837) схемою Горнера.
Обов’язково, щоб многочлен був записаний в стандартному вигляді.
У цій схемі кожне число другого рядка, починаючи з другого стовпчика, є сумою попереднього числа, помноженого на с, і числа, що розміщене над ним.
Приклад.
Знайти неповну частку та остачу від ділення многочлена 
Виконаємо ділення за схемою Горнера.
Пояснення вчителя. У верхньому рядку розставляємо коефіцієнти діленого. (Якщо в ньому не вистачає якогось члена, то замість коефіцієнта ставимо 0).
Цифру в другому стовпчику, що відповідає першому коефіцієнту просто зносимо вниз.
Множимо число з першого стовпчика на число із другого і додаємо коефіцієнт із наступного.
Множимо число із першого стовпчика на число, що вийшло в попередній дії (третій стовпчик) й додаємо до цього коефіцієнт з наступного стовпчика.
За аналогією знаходимо число для останнього стовпчика.
(Число в останньому стовпчику - це остача).
Виконаємо ділення за схемою Горнера.
|
1
|
-4
|
|
0
|
-1
|
-5
|
2
|
|
2·1+(-4)= -2
|
(-2)·2+3= -1
|
2·(-1)+0)= -2
|
|
|
Остача: R=-15
Неповна частка: .
-
Закріплення умінь і навичок
Приклад.
Знайдіть числа a і b з тотожної рівності:
а)
a-6=-8,
b-3a=9,
3b=9
-2-6=-8
b=3
3-3a=9
-3a=6
a=-2
Відповідь: a=-2, b=3
б)
a+2=5, a=3, a=3,
b+a-4=3, 4+3-4=3, b=4.
b-2a=-2, 4-2a=-2,
2b=8; b=4;
Відповідь: a=3, b=4.
Приклад.
в)
Q(x)=
_
_
_
_

.
Приклад. (самостійно)
Знайти неповну частку та остачу, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів:
б)
a=2, a=2,
b=0, b=0,
c-a=0 c=0,
d-b=3, d=3,
L-c=-4, L=-4
Відповідь:
– неповна частка
3х-4 – остача.
Приклад.
Користуючись схемою Горнера, знайти остачу від ділення многочлена на двочлен:
|
1
|
-3
|
6
|
-10
|
16
|
4
|
1
|
1
|
10
|
30
|
136
|
R=136 – остача
– неповна частка.
-
Завдання додому
Вивчити § 7, п. 44 ст. 314- 316.
Розв’язати № 44.2 (2), 44.4, 44.3. (1 - методом невизначених коефіцієнтів).
-
Підсумок уроку
-
Що нового дізнались і чому навчились на сьогоднішньому уроці?
-
З якими методами ділення ви познайомились?
-
Яка необхідна умова ділення многочленів націло?
-
Який многочлен є многочленом канонічного вигляду?
-
Коли краще застосовувати схему Горнера?
|