Роль задач у математиці, їх види та способи розв’язання



Сторінка1/4
Дата конвертації24.04.2016
Розмір0.57 Mb.
  1   2   3   4


ЗМІСТ

Вступ ……….……………………………………………………….............................4



  1. Роль задач у математиці, їх види та способи розв’язання ………………..........6

ІІ. Задачі на рух ………………………………………………………………………10

ІІІ. Задачі на визначення врожайності ……………………………….……………..18

ІV. Вартість покупки, ціна та кількість товару …………………………………….20

V. Задачі, пов’язані з господарською діяльністю людини ………………………..24

VI. Задачі геометричного змісту ……………………………………………...…….27

VII. Читання та побудова діаграм, графіків ………………………………….…….30

VIII. Елементи статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей ……….…….33

IX. Відсоткові розрахунки. Задачі економічного змісту …………………………38

Х. Задачі на виконану роботу …………………………………………….……........46

Використані джерела………………………………………………………………....51



ВСТУП

Проблеми сучасної освіти в Україні полягають у тому, що знання, вміння й навички, які формуються у школярів, не завжди передбачають подальше їх застосування в різних сферах суспільного життя. У зв’язку з цим важливим є забезпечення відповідності особистості школяра сучасним вимогам суспільства.

Без знання математики не можна прожити в сучасному світі. Адже, математика є основою безлічі наук. Без математичних знань неможливо розвинути ніякі інші вміння: ні в інженерії, ні в космонавтиці, ні в медицині, ні в багатьох інших галузях знань. Якісна підготовка школярів передбачає розвиток вмінь розв’язувати задачі, наближені до реального життя. Але за браком часу на уроці не завжди вдається цього досягти. Тому виникає потреба шукати окремі підходи до вивчення математики. Одним із рішень цієї проблеми є впровадження в навчальному плані школи факультативного курсу для учнів 6 класу «Розв’язуємо прикладні задачі» (автор: Шевченко А.В., вчитель математики Обухівської ЗОШ І-ІІІ ст. №1 ім. А.С. Малишка).

Відповідно до цієї програми складено збірник задач, мета якого направлена на те, щоб доповнити навчально-методичне забезпечення викладання факультативного курсу «Розв’язуємо прикладні задачі», а також допомогти учителю підібрати задачі з певних тем відповідно до програми.

Задачі, особливо практичного змісту, сприяють розвитку творчого мислення учнів, допомагають з´ясувати роль і місце математики в практичній діяльності людини, прищеплюють інтерес до предмета, бажання застосовувати набуті знання на практиці.

У збірнику підібрані задачі, які ілюструють застосування математичних знань у реальних ситуаціях. Всі задачі містять один або кілька способів розв’язання. Розв’язування однієї задачі кількома способами інколи приносить більшу користь, ніж розв’язування кількох задач. Створюючи математичну модель задач у вигляді малюнків, схем, таблиць, рівнянь, учні краще розуміють умову, встановлюють взаємозв’язки між величинами.

Розв’язуючи прикладні задачі на виконану роботу, учні знайомляться із особливостями окремих професій, роботою підприємств, галузей народного господарства. Практичні задачі геометричного змісту розвивають вміння самостійно робити розрахунки під час ремонтних та будівельних робіт у побуті, обчислювати площі земельних ділянок.

Задачі на суміші, сплави дозволяють краще засвоювати знання з хімії. Різні види задач на рух дають можливість усвідомити залежність між фізичними величинами, важливе значення відіграє у таких задачах зображення умови у вигляді таблиці, схеми, малюнка. Побудова діаграм, графіків сприяє розвитку вміння представляти певну інформацію. З розвитком науково-технічного прогресу необхідно вміти передбачати, зіставляти, порівнювати, певні процеси, експерименти та раціонально приймати рішення. Саме цьому і навчає математична статистика, комбінаторика та теорія ймовірностей.

У час стрімкого розвитку ринкових відносин важливу роль відіграють задачі економічного змісту на відсоткові розрахунки: визначення вартості товару, заробітної плати, банківських платежів, тощо.

В значній частині задач пропонується спосіб розв’язання за допомогою властивостей прямо та обернено пропорційних величин.

Матеріали збірника можуть використовувати учителі математики, що дає можливість швидко підібрати потрібні задачі та урізноманітнити форми роботи на уроці, а також учні, які цікавляться математикою і хочуть поглибити свої знання.

І. РОЛЬ ЗАДАЧ У МАТЕМАТИЦІ, ЇХ ВИДИ

ТА СПОСОБИ РОЗВ’ЯЗАННЯ

Задача – це сформульоване запитання, відповідь на яке можна знайти за допомогою арифметичних дій.

При вивченні математики в школі використовуються різні типи задач як за структурою так і за змістом, за характером складності, за способами розв’язування, за призначенням. Значне місце в навчальному процесі займають задачі практичного змісту – прикладні задачі. Умови таких задач описують реальні процеси, ситуації.

Класифікація задач:


  1. По характеру об’єктів: практичні (реальні); математичні.

  2. По відношенню до теорії: стандартні; нестандартні.

  3. По характеру вимог: розпізнавання або знаходження невідомих величин; перетворення або побудова; доведення або пояснення.

Етапи розв’язання задачі:

  • ознайомлення із змістом задачі;

  • аналіз задачі;

  • складання плану розв'язання;

  • розв'язання задачі за планом;

  • перевірка розв'язування;

  • запис відповіді.

Як розв’язати задачу (пам’ятка)

  1. Ознайомитись із умовою задачі. Уяви собі задачу як ціле, якомога ясніше не вдаючись до подробиці.

  2. Вникнути в зміст задачі. Розділи задачі на головні елементи. Вивчи головні елементи задачі, розглядаючи їх поодинці, потім послідовно с підстав кожну деталь з іншими і з усією задачею в цілому.

  3. Знайти спосіб (способи) розв’язання. Розглянь задачу з інших позицій і знайди її точки зіткнення з раніше набутими знаннями.

  4. Розв’язати задачу. Розв’яжи задачу раціональним способом. Переконайся у правильності кожного кроку. Якщо задача дуже важка, то можна поділити її на кілька логічних частин.

  5. Перевірити правильність розв’язання. Перевір розв’язок, а потім підстав знайдені величини в умову.

Способи розв’язування математичних задач

Існують різні способи розв’язування математичних задач. Розглянемо деякі з них на конкретних прикладах.



Задача 1. Для туристичного походу 46 школярів підготували шестимісні та чотиримісні човни. Скільки було яких човнів, якщо всі діти помістилися в 10 човнах, вільних місць при цьому не залишилося?

І. Арифметичний спосіб.

  1. Скільки школярів помістилося б у човни, коли б вони були чотиримісними?

4 ∙ 10 = 40 (шк.)

  1. Скільки школярів при цьому не помістилися б?

46 – 40 = 6 (шк.)

  1. Скільки шестимісних човнів було?

6:2=3 (ч.)

  1. Скільки чотиримісних човнів було?

10 – 3 = 7 (ч.)

Відповідь: було 3 шестимісних та 7 чотиримісних човнів.



ІІ. Алгебраїчний спосіб (з допомогою рівняння).


http://i021.radikal.ru/0712/02/217d65581af8.png
Нехай було х шестимісних човнів, тоді (10 – х) – кількість чотиримісних. У шестимісних човнах поміститься 6х школярів, а в чотиримісних: 4(10 – х) школярів. Всього було 46 школярів.

Складаємо рівняння

6х + 4(10 – х) = 46;

6х + 40 – 4х = 46;

2х = 46 – 40;

2х = 6;



х = 3.

Отже, було 3 шестимісні і 7 = 10 – 3 чотиримісні човни.



ІІІ. Спосіб перебору варіантів.

Так як були човни двох видів, а школярів було 46, то 7 – можлива максимальна кількість шестимісних човнів, тому що 7 ∙ 6 = 42 (шк.), а 9 – максимальна кількість чотиримісних човнів, тому що 9 ∙ 4 = 36 (шк.). Виходячи з цього, складемо таблицю:



К-сть човнів

К-сть школярів

К-сть школярів

6-місних

4-місних

У 6-місних

У 4-місних

1

9

6

36

42

2

8

12

32

44

3

7

18

28

46

4

6

24

24

48

5

5

30

20

50

6

4

36

16

52

7

3

42

12

54

З таблиці видно, що задовольняють умову значення 3 човна шестимісних і 7 човнів чотиримісних.



Задача 2. У двох ящиках 53 кг яблук. Скільки яблук у кожному ящику, якщо в першому ящику на 5 кг більше яблук, ніж у другому?

короткий



І. Арифметичний спосіб.

1) 53 – 5 = 48 (кг) – у двох ящиках порівну;

2) 48 : 2 = 24 (кг) – у ящику з меншою масою яблук;

3) 24 + 5 = 29 (кг) – у ящику з більшою масою яблук.

Відповідь: у ящиках 24 кг і 29 кг яблук.

х кг

(х + 5) кг

53 кг

ІІ. Алгебраїчний спосіб.
Нехай у одному ящику х кг яблук, тоді у другому ящику – (х + 5) кг яблук. В обох ящиках 53 кг яблук.

Складаємо рівняння



х + (х + 5) = 53;

2х = 53 – 5;

2х = 48;

х = 48 : 2;

х = 24.

У першому ящику 24 кг яблук; у другому ящику: 24 + 5 = 29 (кг) яблук.

Відповідь: у ящиках 24 кг і 29 кг яблук.

ІІІ. Геометричний спосіб.

Позначимо кількість яблук у ящиках відрізками:

І ящик:

ІІ ящик:


5 кг

53 кг

Якщо відрізати частину від довшого відрізка (5 кг), то утворяться 2 відрізки рівної величини. Виходячи з цього: (53 – 5) : 2 = 24 (кг) – відповідає першому відрізку, тоді: 24 + 5 = 29 (кг) – відповідає другому відрізку.

Відповідь: Відповідь: у ящиках 24 кг і 29 кг яблук.

ІІ. ЗАДАЧІ НА РУХ

Довідничок:


  1. Назви та позначення величин: S – відстань (пройдений шлях), t – час

руху, v – швидкість (відстань, пройдена за одиницю часу)

  1. Формули для обчислення величин: S = V ∙ t; V = S : t; t = S : V

  2. Правила обчислення швидкостей та відстані:

Якщо два об’єкти рухаються рівномірно (з постійними швидкостями), то відстань між ними за кожну одиницю часу збільшується або зменшується на однакову кількість одиниць.

Відстань, на яку зближуються об’єкти за одиницю часу, називається швидкістю зближення.

Відстань, на яку віддаляються об’єкти за одиницю часу, називається швидкістю віддалення.

Правила обчислення швидкостей
V2

Зустрічний рух




Vзбл=V1+V2
Швидкість зближенння:




V1

V2

Рух у протилежному напрямку


Vвід=V1+V2
Швидкість віддалення:




V1

V2

Рух навздогін




V збл=V1-V2
Швидкість зближенння (V1 > V2 ):



V1

v2

Рух з відставанням




Vвід=V1-V2
Швидкість віддалення (V1 < V2 ):




Правила обчислення відстані





s дм




Зустрічний рух
1)
2) - відстань між об’єктами

s м




Рух у протилежному напрямку

1)


2) - відстань між об’єктами
м/с

s cм




Рух навздогін
1)
2) - відстань між об’єктами

s cм

m cм/с

n cм/с

s cм

4)


Рух з відставанням
1)
2) - відстань між об’єктами
Задачі

    1. Скласти задачу за даними таблиці.

Швидкість

Час

Відстань

?

2 год

28 км

?

3 год

210 км

5 км/год

4 год

?

120 км/год

3 год

?

13 км/год

?

26 км

60 км/год

?

240 км

10 км/год

3 год

?

36 км/год

?

72 км

?

  1. год






    1. Із двох пунктів одночасно вийшли два пішоходи. Перший пішохід, що йде зі швидкістю 6 км/год, через 0,5 годин наздогнав другого, який йшов зі швидкістю 4 км/год. Яка відстань між пішоходами була спочатку.



6 км/год

4 км/год

? км

0,5 год

Розв’язання:





Швидкість, км/год

Час, год

Відстань, км

Перший

6

0,5

6·0,5

Другий

4

0,5

4·0,5

  1. 6·0,5=3 (км) – відстань, пройдена першим пішоходом до зустріч;

  2. 4·0,5=20 (км) – відстань, пройдена другим пішоходом до зустрічі;

  3. 3 – 2=1 (км) – початкова відстань між пішоходом.

Відповідь: спочатку була відстань між пішоходами 1 км.

    1. Одночасно з одного пункту в протилежних напрямках вийшло два пішоходи. Один з них ішов з швидкістю 3км/год. Через дві години пішоходи віддалилися один від одного на 10км. Визнач швидкість другого пішохода.

Розв’язання:

?км/год

3 км/год

10км/год через 2 год


І спосіб (за допомогою рівняння)

Нехай х км/год – швидкість другого пішохода. Тоді перший пішохід за 2 год

пройде 3·2= 6 (км), а другий пішохід пройде 2х км. За умовою задачі вони

пройшли 10 км за 2 год (2х + 6 = 10 км).

Складаємо рівняння.

2х+6=10; 2х=10-6; 2х=4; х=4:2; х=2.

Відповідь: швидкість другого пішохода 2 км/год.

ІІ спосіб




Швидкість, км/год

Час, год

Відстань, км

Перший

3

2

3 · 2

Другий

х

2

2х

1) 3 · 2 = 6 (км) – пройшов перший пішохід за 2 год;

2) 10 – 6 = 4 (км) – пройшов другий пішохід за 3год;

3) 4 : 2 = 2 (км/год) – швидкість другого пішохода.



Відповідь: швидкість другого пішохода 2 км/год.

    1. Два мотоцикліста рухаються назустріч один одному. Перший їде зі швидкістю 32км/год, а другий зі швидкістю 38км/год. Зараз між ними 80км. Яка відстань буде між ними через 0,5 годин.

Розв’язання

c:\users\gigabyte\desktop\малюнки\2.jpg
c:\users\gigabyte\desktop\малюнки\3.jpg

32 км/год
38км/год
80 км

S через 0,5 год ?





Швидкість, км/год

Час, год

Відстань, км

Перший

32

0,5

32 · 0,5

Другий

38

0,5

38 · 0,5




  1. 32 · 0,5=16 (км) – проїхав перший мотоцикліст за 0,5 годин;

  2. 38 · 0,5=19 (км) – проїхав другий мотоцикліст за 0,5 годин;

  3. 16 + 19=35 (км) – проїхали обидва мотоциклісти за 0,5 години;

  4. 80 – 35=45 (км) – така відстань буде між ними через 0,5 години.

Відповідь: 45 км.

c:\users\gigabyte\desktop\малюнки\1205684603_urban - копия.jpg

c:\users\gigabyte\desktop\малюнки\1205684603_urban.jpg

http://images.clipartpanda.com/clipart-cars-car8.png

http://images.clipartpanda.com/toyota-pickup-truck-clipart-car-pictures-clip-art-0fv7hhyc.png
  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка