Разработка универсального программного кода для решения трехмерных нестационарных задач механики сплошных сред



Сторінка4/6
Дата конвертації13.04.2016
Розмір0.56 Mb.
1   2   3   4   5   6

Численная реализация метода решения уравнений Навье-Стокса

2.1 Общая постановка задачи и основные допущения


Рассматривается нестационарное турбулентное (низкорейнольдсовое) обтекание двумерного тела произвольной формы, совершающего колебания вблизи плоских границ раздела сред или в неограниченной жидкости. Предполагается, что массовые силы, действующие в жидкости, известны и постоянны во времени. в начальный момент времени также известны все характеристики течения: давление, компоненты вектора скорости, плотность и кинематическая вязкость жидкости. На всем временном промежутке известны значения гидродинамических характеристик на границах расчетной области, а также закон перемещения обтекаемого тела.

Необходимо определить состояние поля скоростей и давления в последующие моменты времени, а также интегральные гидродинамические характеристики потока.

Течение описывается осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса

(56)

На твердых границах задаются условия прилипания и непротекания, а также граничное условие для давления. Задается профиль скорости набегающего потока. Начальные условия представляют собой заранее заданные распределения полей скоростей и давления в начальный момент времени, которые должны удовлетворять уравнениям (56).

Для замыкания системы уравнений (56) используется стандартная модель турбулентности Спаларта-Аллмараса.

(57)

Последующие разделы посвящены численной реализации описанной математической модели течения вязкой несжимаемой жидкости.


2.2 Особенности метода расчета


Сформулируем основные методологические особенности разработанного метода, которые будут детально рассмотрены в следующих разделах данной главы.

Расчетный алгоритм построен с использованием метода искусственной сжимаемости, что позволяет избежать возникновения неустойчивости решения при наложении условия несжимаемости. Получение монотонного решения при сохранении точности обеспечивается путем применения противопоточной схемы высокого порядка для расчета конвективных слагаемых. Для пространственной дискретизации определяющих уравнений применяется метод конечных объемов на неструктурированных треугольных сетках. Построение расчетной сетки осуществляется с использованием внешнего генератора (Gambit, Geompack).

В предложенном подходе контрольные объемы выбраны совпадающими с ячейками сетки. В качестве основных переменных выступают средние значения переменных решения (давление и компоненты скорости потока) по ячейкам сетки, заданные в центральных точках ячеек.

Нахождение как конвективного, так и диффузионного потоков на границе контрольной ячейки осуществляется при помощи кусочно-линейной аппроксимации решения в каждой ячейке. Коэффициенты аппроксимационного полинома в ячейке определяются методом наименьших квадратов. Монотонность аппроксимации обеспечивается при помощи ограничивающего множителя. Кусочно-линейная аппроксимация позволяет находить со вторым порядком точности значение решения в любой точке ячейки, а также градиент решения в центральной точке ячейки.

Величина конвективного потока через границу ячейки определяется при помощи противопоточной схемы, по значениям переменных решения, вычисленным при помощи аппроксимационных полиномов двух соседних ячеек. При этом учитывается скорость перемещения сторон ячеек деформируемой расчетной сетки. Значение градиента на границе между двумя ячейками, используемое при вычислении диффузионного потока, определяется как взвешенное среднее его значений в соседних ячейках, пропорционально их площадям.

В случае расчета установившегося течения, для интегрирования уравнений по искусственному времени применяется неявная схема Эйлера первого порядка точности. Для расчета нестационарного течения применяется техника введения дополнительных итераций по искусственному времени на каждом шаге физического времени. При этом для дискретизации по физическому времени используется неявная формула Эйлера второго порядка. Получаемая таким образом СЛАУ является аналогом соответствующей системы для случая установившегося течения, что позволяет создать универсальный программный код, пригодный для решения обеих задач.


2.3 Дискретизация по пространству. Метод конечных объемов


Решение осуществляется на основе осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса с искусственной сжимаемостью. После приведения к безразмерному виду, консервативная форма этой системы уравнений имеет вид

(58)

В качестве безразмерного параметра принимается число Рейнольдса , где , -- характерные длина и скорость, -- кинематическая вязкость, -- обезразмеренная турбулентная кинематическая вязкость, определяемая при помощи модели Спаларта-Аллмараса.

Интегральная форма уравнений (58), записанная для контрольной ячейки , имеет вид

(59)

В случае, если граница контрольной ячейки подвижна, второе уравнение принимает вид

(60)

где -- скорость перемещения границы.


2.3.1. Выражения для двухмерного случая


Перепишем полученную систему уравнений относительно вектора физических переменных следующим образом

где -- вектор переменных решения, включающий в себя давление и компоненты скорости, , -- невязкие потоки, , -- вязкие потоки





где -- параметр искусственной сжимаемости, .

В случае подвижной границы ячейки, вместо , используются ,

Представив границу ячейки в виде суммы сторон, найдем значение интеграла по каждой грани при помощи квадратурной формулы прямоугольников. Тем самым получим уравнения метода конечных объемов, записанные относительно вязкого и невязкого потоков через поверхность контрольного объема.

(61)

где -- площадь -ой ячейки, и -- невязкий и вязкий потоки через -ый отрезок границы этой ячейки, имеющие следующий вид

где , проекции вектора представляющего собой единичную нормаль к стороне ячейки умноженную на длину этой стороны.

Таким образом невязкий и вязкий потоки представляются в виде функций вектора переменных решения

(62)

(63)

Используя обозначение , удобно представить невязкий поток следующим образом

В случае подвижной границы ячейки, невязкий поток примет вид

Чтобы избежать возникновения осцилляций, связанных с нелинейностью конвективных слагаемых, будем использовать противопотоковую схему [32] для вычисления невязкого потока через каждую грань контрольного объема (сторону ячейки).

В этом случае поток через общую грань двух контрольных объемов (общий отрезок границы двух ячеек) будет иметь вид

(64)

где и -- значения вектора переменных на внутренней и внешней сторонах отрезка границы. Элементы матрицы вычисляются как функции переменных решения в точке границы .

Здесь матрица представляет собой модуль якобиана . Представим матрицу Якоби в виде

(65)

где -- матрица собственных векторов якобиана, -- диагональная матрица его собственных значений. Тогда определяется следующим образом

(66)

Выпишем структуру перечисленных матриц.

(67)

Якобиан имеет три собственных значения

где -- искусственная скорость звука

Матрица собственных значений якобиана и ее модуль имеют вид

Матрица собственных векторов якобиана имеет вид

В случае подвижной границы ячейки, Якобиан примет вид

(68)

Его собственными числами будут



где



2.3.1. Выражения для трехмерного случая


Перепишем полученную систему уравнений относительно вектора физических переменных для трехмерного случая следующим образом

где -- вектор переменных решения, включающий в себя давление и компоненты скорости, , , -- невязкие потоки, , , -- вязкие потоки





где -- параметр искусственной сжимаемости, .

Представив границу ячейки в виде суммы сторон, найдем значение интеграла по каждой грани при помощи квадратурной формулы прямоугольников. Тем самым получим уравнения метода конечных объемов, записанные относительно вязкого и невязкого потоков через поверхность контрольного объема.

где -- площадь -ой ячейки, и -- невязкий и вязкий потоки через -ый отрезок границы этой ячейки, имеющие следующий вид

где , , проекции вектора представляющего собой единичную нормаль к стороне ячейки умноженную на длину этой стороны.

Используя обозначение , удобно представить невязкий поток следующим образом

Чтобы избежать возникновения осцилляций, связанных с нелинейностью конвективных слагаемых, будем использовать противопотоковую схему [32] для вычисления невязкого потока через каждую грань контрольного объема (сторону ячейки).

В этом случае поток через общую грань двух контрольных объемов (общий отрезок границы двух ячеек) будет иметь вид

где и -- значения вектора переменных на внутренней и внешней сторонах отрезка границы. Элементы матрицы вычисляются как функции переменных решения в точке границы .

Здесь матрица представляет собой модуль якобиана . Представим матрицу Якоби в виде

где -- матрица собственных векторов якобиана, -- диагональная матрица его собственных значений. Тогда определяется следующим образом

Выпишем структуру перечисленных матриц.

Введём обозначения





Якобиан имеет четыре собственных значения

Матрица собственных значений якобиана имеет вид

Матрица собственных векторов якобиана имеет вид

Где имеют следующий вид












2.3.3 Аппроксимация вязкого потока


Выше была получена система уравнений метода наименьших квадратов (74). С ее помощью компоненты градиента вектора переменных решения , в ячейке вычисляются со вторым порядком точности по пространству. Также была получена формула вида (79) выражающая компоненты градиента через узловые значения .

Определим градиент вектора переменных решения на границе между -й и -й контрольными ячейками как взвешенное среднее значений градиентов в этих ячейках

(85)

Найдем вязкий поток через границу между -й и -й ячейками, подставляя в формулу (63) значения компонентов градиента на этой границе.



2D

Перепишем выражение для вязкого потока (63) следующим образом

где , матрицы и имеют вид

3D

2.3.4 Граничные условия

2.3.4.1 Граничные условия


Граница расчетной области подразделяется на участки, соответствующие твердой стенке, входу и выходу. Рассмотрим граничные условия, задаваемые на участках каждого типа.

Задаются граничные условия для физических переменных: -- давление, , -- компоненты скорости.



Вход:

, ,

Твердая стенка:

,

Выход:

,

где -- входной профиль скорости.


2.3.4.3 Начальные условия


Во всей расчетной области значения физических переменных (давления и компонентов скорости), а также переменные моделей турбулентности принимаются равными нулю


1   2   3   4   5   6


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка