Працюючи над графіком логарифмічної функції, я розглядаю побудову графіка за такою схемою



Скачати 97.26 Kb.
Дата конвертації30.04.2016
Розмір97.26 Kb.
Вчитель, який працює в старших класах, розуміє важливість і значимість останніх років навчання. Учні починають детально розбирати вступні конкурсні завдання вузів, до яких надумали вступати. А тому, проаналізувавши завдання деяких вузів та факультетів, де є екзамен з математики, помітно, що досить значна увага приділяється побудові графіків функцій та графічному розв’язанню рівнянь.

Наприклад, Київський національний економічний університет в білетах пропонує такі завдання: скільки розв’язків має рівняння а) ; б) або “Скільки розв’язків має рівняння на проміжку (0,π)?

Бачимо, що ці завдання передбачають побудову не тільки тих графіків, що містять модуль, а й графіків складних функцій. Зрозуміло, що на екзамені не завжди час працює на учня, а тому він повинен твердо знати, як впоратись із завданням, витративши на нього мінімум часу. Хочу поділитись деякими думками відносно побудови графіків складних функцій елементарними способами, апробованих у власній практиці. Ці вправи закладають в учнів основи аналітичного мислення, розвивають логіку, культуру функціональних позначень. Звичайно, в програмі є питання побудови графіків функцій із застосуванням похідної, але там обчислювальна, формальна сторона переважає над логічною та графічною. А саме завдяки запропонованому нижче підходу до побудови графіків складних функцій можна прийти до того, що основні поняття математичного аналізу можуть стати для дітей зрозумілими і звичними, досить тільки обмежитись “геометричною” суттю викладок. Розглянемо декілька прикладів побудов графіків складної функції.
Приклад 1.

Працюючи над графіком логарифмічної функції, я розглядаю побудову графіка за такою схемою:

1) ; 2) .

Отже, побудуємо графік параболи . Знаючи область визначення логарифмічної функції, учні одразу “бачать”, де не існує графік цієї функції. На інтервалах та графік знаходиться під віссю ОХ, а, отже, там не існує графіка . В точках перетину графіка параболи з віссю ОХ (0;1) та (0;-1) маємо асимптоти для графіка логарифмічної функції. Оскільки основа логарифма 2, тобто більше 1, то, як відомо, для того значення аргументу, який менше 1 маємо графік нижче осі ОХ, а для тих, які більше 1, – вище. Там, де аргумент дорівнює 1, маємо точку дотику до осі ОХ. В даному прикладі роль аргументу логарифмічної функції виконує парабола . Побудова самого графіка передбачає, що учні твердо знають вигляд графіка логарифмічної функції та його властивості, розуміють його поведінку біля асимптот, враховують залежність від зростання та спадання логарифмічного виразу.





Рис. 1.


Якщо учні зрозуміли техніку, то надалі будуть легко будувати графіки від більш складних під логарифмічних виразів.
Приклад 2.

Почнемо побудову з графіка функції , далі врахуємо знак модуля, а вже тоді побудуємо логарифмічну функцію.




Рис.2


Знайдемо точки перетину графіка з прямою у=1. Абсциси цих точок – це точки перетину майбутнього графіка логарифмічної функції з віссю ОХ . Їх чотири – х1, х2, х3, х4. На проміжках (х1;-2) та (1;х4) графік розміщений нижче осі ОХ. Права частина зростаюча, бо зростає відповідна вітка параболи, а ліва – спадна. Розглянемо “середню” частину, що розмістилась на інтервалі (-2;1). Тут також є частина графіка нижче осі ОХ на (-2;х2) та (х3;1). Максимальне значення на цьому проміжку підлогарифмічна функція досягає в точці (), то максимум логарифмічної функції буде в точці . Для схематичної побудови графіка досить знати, що > 1. з’єднуємо одержані точки, враховуючи зростання та спадання під логарифмічної функції на проміжках .

Особливо в учнів виникає острах перед графіками, які є комбінаціями логарифмічної та тригонометричної функцій.


Приклад 3. Побудувати графік функції .







x


y

Рис.3.



Застосувавши ті ж самі міркування одержимо графік. Але треба врахувати періодичність функції .


Приклад 4. побудувати графік функції .


y


x





Рис.4.

На графік даної функції “впливає” основа , а тому на тих інтервалах, де під логарифмічна функція зростає, графік буде спадним , і навпаки.

Попрацювавши з екзаменаційними матеріалами багатьох вузів, можна доповнити скарбничку вчителя вправами:

1. (1); 5. (4);

2. (1); 6. (4);

3. (2); 7. (5);

4. (4); 8. (5).

Є багато завдань у вже згаданому збірнику Київського національного економічного університету . І в збірнику “Завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту” (Г.М.Литвиненко, Л.Я.Федченко, В.О.Швець) , частина 1, алгебра, 1997 рік були такі завдання. Наприклад, №920.

Побудувати графіки функцій: та .

В конкурсних завданнях графіки комбінуються з графічним розв’язком рівнянь. Врешті-решт такі графіки вчитель може придумати сам.

Подібного підходу вимагають графіки функцій, що містять корінь квадратний.

Приклад 5. Розглянемо побудову графіка функції .

Побудуємо графік . Для цього перетворимо вираз дробово- раціональної функції, виділивши цілу частину. . Маємо . Одержавши такий вираз для функції, легко її побудувати: 1) проведемо горизонтальну та вертикальну асимптоти у=-1, х=-1; 2) відносно цих асимптот як відносно координатних осей побудувати графік . Далі побудуємо графік функції , тобто . Бачимо, що ця функція парна, а тому відобразимо частину графіка для х>0 наліво відносно осі ОУ. Тепер побудуємо . Ця функція буде існувати на проміжку , бо для всіх інших х графік знаходиться нижче осі ОХ. Точка перетину осі ОХ графіка функції співпадає з такими ж точками для функції ; максимальне значення таке ж, бо . А далі графік буде проходити нижче, ніж графік підкореневого виразу, бо маємо операцію добування кореня квадратного.




Рис.5.
Зацікавить дітей і побудова таких графіків.


Приклад 6. Побудувати графік функції .

Рис.6.
Побудувавши графік , учні одразу побачать, що шуканий графік складається з точок .

Аналогічно розмірковуючи, можна побудувати , .

Застосуємо цей спосіб до побудови складних функцій, в основі яких лежить показникова.


Приклад 7. Побудувати графік функції .
Побудуємо графік .

Мінімальне значення параболи – 1, а для показникової функції , притому ж значенні аргумента. Надалі можна “ побачити “ форму графіка, одержавши декілька контрольних точок. Проведемо пряму у = 1 до перетину з графіком , через одержані точки проведемо прямі паралельні ОУ, і відкладемо вгору від осі ОХ 2 одиниці. Точно так можна зробити, провівши пряму у=2, але відкладати вже треба 4 одиниці, бо . Функція “росте” та спадає швидше, ніж парабола, і має ту саму вісь симетрії, що і парабола.



Приклад 8. Побудувати графік функції .

Рис. 8.


. Почнемо з графіка . А далі знайдемо максимальне значення майбутньої функції: , що більше 1. оскільки майбутня функція симетрична відносно прямої х=2,5, то й відмітимо на цій прямій максимум майбутньої функції. А далі одержимо : , то і так далі.

Вміння будувати графіки, читати їх, тобто знаходити проміжки монотонності, екстремальні значення та інші характеристики функції по її графіку –– важливий елемент математичної культури. Отже, працюючи з складною функцією, необхідно зробити наголос на залежності властивостей зовнішньої функції від внутрішньої.

Однією з важливих властивостей, що зв’язує графіки, є властивість монотонності. Розглянемо це на наступному прикладі.
Приклад 9. Побудувати графік функції .
В
y

x


нутрішня функція є зростаючою. Якщо , то .

Рис. 9.

Але функція буде зростати від 0 до . Виберемо контрольну точку х=0, . Вісь ОХ буде горизонтальною асимптотою для , так як вона є і для показникової функції.
Приклад 10. Побудувати графік функції .

Будуємо графіки внутрішньої та зовнішньої функцій. Виділяємо проміжки монотонності. Функція при зростанні х від 0 до , зростає від - до 0, а отже зростає від 0 до 1. оскільк5и функція парна, то її графік симетричний відносно осі ОХ.


Таким чином, побудову графіка складної функції в деяких випадках можна провести по плану:



  1. побудувати в системі координат ХОУ графіки внутрішньої та зовнішньої функцій;

  2. визначити проміжки монотонності внутрішньої функції ;

  3. на кожному проміжку визначити границі зміни і вибрати ті значення внутрішньої функції, що попадають в область допустимих значень зовнішньої функції;

  4. по графіку зовнішньої функції знайти характер зміни функції ;

  5. в системі координат побудувати графік заданої функції.

Далі показано процес роздумів та побудови функцій:

1) ;

2) ;

3) .

Працюючи по цій схемі, учні постійно звертаються до графіків елементарних функцій, вчаться за графіком слідкувати за зміною функції в залежності від зміни аргумента і навпаки. Цю методику побудови графіка складної функції можна застосовувати при розв’язанні рівнянь та нерівностей з параметром графічним методом.

Таку уяву важливо формувати при вивченні границь функцій. Навчившись елементарними способами будувати графіки складних функцій, учні одержать великий запас ілюстрацій властивості неперервності функцій, різних видів розривів, односторонніх границь і так далі. Робота над побудовою графіка складної функції дозволяє сміливо орієнтуватись, працюючи над диференціюванням складної функції. Якщо учні озброїлись цією методикою, то найбільш підготовлені з них вже тільки глянувши на формулу, уявляють графік.

В багатьох задачах графік є лише частиною, допоміжним елементом розв’язку, і вміння їх розв’язувати необхідні майбутньому техніку, інженеру, економісту, лікарю.



Література.


  1. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олейник С.Н., Пасиченко П.И. “ Задачи по математике. Начала анализа.” М., “Наука”, 1990.

  2. Вишенський В.А., Дороговцев А.Я. та ін. “Вибрані питання елементарної математики”, К., “Вища школа”, 1972.

  3. Горделадзе Ш.Г., Яремчук М.М., Кухарук Ф.П. “Збірник конкурсних задач з математики”, К., “Вища школа”, 1988.

  4. Игудисман О.С. “Математика на усном экзамене”, М., “Абрис”, 1999.

  5. Карп А.П. “Даю уроки математики” М., “Просвещение”, 1992.

  6. Кушнир И.В. “Функции. Задачи и решения.”, К., “Астарта”, 1996.

  7. Макаренко О.І., Овсієнко В.Г. та ін. “Конкурсні завдання з математики”.

  8. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якир М.С. “Алгебраїчний тренажер”, Москва – Харків, “Ілекса”, “Гімназія”, 1998.

  9. Математика. Завдання та тести (посібник-довідник для вступників до вищих навчальних закладів із спеціальності “математика”) К., “Генеза”, 1993.

  10. Новосьолов С.Й. “Спеціальний курс елементарної алгебри”, К., “Радянська школа”, 1953.

  11. Столин А.В. “Комплексные упражнения по математике с решениями. 7 – 11 классы”, Харьков, ИМП “Рубікон”, 1995.

  12. Швацький М.Г. “Абсолютні величини в шкільному курсі математики”, К., “Радянська школа”, 1967.








База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка