Хто не знає математики, не може узнати ніякої другої науки і навіть не може виявити своє неуцтво



Скачати 317.83 Kb.
Дата конвертації25.04.2016
Розмір317.83 Kb.
«Розвязання рівнянь і нерівностей з параметрами як засіб розвитку

розумових здібностей учнів »

“Хто не знає математики,

не може узнати ніякої

другої науки і навіть не

може виявити своє неуцтво”

Роджер Бекон,

англійський філософ (1267 р.)

В сучасному світі відбувається переоцінка цілей та завдань освіти, обумовлена формуванням нового типу суспільного устрою – інформаційного суспільства. Протягом багатьох століть математика є невід’ємним елементом загальної освіти всіх країн світу. Це пояснюється унікальною роллю навчального предмету «математика» у формуванні особистості. Розвиваючий потенціал математики величезний, а в умовах інформаційного суспільства математична освіта стає важливим фактором адаптації особистості до сучасних реалій.

Тому основною метою шкільної математичної освіти стає інтелектуальний розвиток учнів, формування якостей мислення, характерних для математичної діяльності та необхідних людині для повноцінного життя у суспільстві, умінь та навичок, необхідних для застосування в практичній діяльності, для вивчення суміжних дисциплін, для продовження освіти.

Мій власний педагогічний досвід свідчить про те, що які б нові віяння, народжені вимогами часу, не приходили до школи, як би не мінялися програми та підручники, формування інтелектуальної культури людини було та є однією з основних завдань.

Успіх інтелектуального розвитку учнів досягається головним чином на уроці, коли я як учитель залишаюсь один на один зі своїми вихованцями. Та від мого вміння організувати систематичну пізнавальну діяльність залежить ступінь зацікавленості до навчання, рівень знань, тобто інтелектуальний розвиток учнів.

Критерії розумового розвитку (по Н.Д.Левітову) наступні:



  • самостійність мислення,

  • швидкість та міцність засвоєння навчального матеріалу,

  • швидкість розумової винахідливості при розв’язанні нестандартних завдань,

  • глибоке проникнення в сутність досліджуваних явищ (уміння відрізняти істотне від несуттєвого),

  • критичність розуму, відсутність схильності до упереджених, необґрунтованих суджень.

Мотивація навчання:

Відомо, що успіх будь-якої діяльності, в тому числі і навчальної , головним чином залежить від наявності позитивних мотивів навчання.

Дитина від природи має безумовний орієнтувальний рефлекс «Чому?».

І моя задача як педагога полягає в тому, щоб протягом всіх років шкільного навчання створити сприятливі умови для підтримки цієї притаманної дитині цікавості, допитливості, не згасити її, а доповнити новими мотивами, що йдуть від самого змісту навчання, форм і методів пізнавальної діяльності.

Процес мислення – це перед усім аналіз, синтез, порівняння і узагальнення. А значить уміння мислити включає в себе уміння аналізувати , синтезувати, порівнювати і узагальнювати.

Мислення і розв’язування задач тісно пов’язані одне з одним. Звичайно розв’язування задач можливо тільки за допомоги уміння мислити, і не інакше. Але уміння мислити проявляється не тільки при розв’язуванні уже сформульованих задач – воно необхідне і для самої постановки задач, для виявлення і усвідомлення нових проблем. Часто постановка проблеми потребує навіть більших інтелектуальних зусиль, ніж її наступне розв’язування.

Як учитель математики я впевнена, що хоча уміння мислити і не зводиться до уміння розв’язувати задачі, краще всього його формувати саме при розв’язуванні задач, коли учень зустрічається з посильними для нього проблемами і питаннями і формулює їх. І лише, долаючи труднощі, він може сформувати свої інтелектуальні вміння. Допомога і керівництво зі сторони педагога полягає не в тому, щоб усунути ці труднощі, а в тому, щоб підготувати учня до їх подолання.

Серед учнів, більшість діти середнього інтелектуального рівня розвитку. За результатами психологічної діагностики учні мають різний склад розуму – у одних аналітичний, у других наглядно-образний, у третіх, ці компоненти розвинуті відносно однаково.

Тому і існує така проблема: як активізувати інтелектуальну діяльність учнів з різними складами розуму, зробити навчання комфортним.

Саме виходячи з цього я поставила перед собою завдання продовжити роботу над проблемою «Розв’язання рівнянь і нерівностей з параметрами як засіб розвитку розумових здібностей учнів».

Вибір теми зумовлено також тим, що у школі розв’язанню задач с параметрами приділяється мало уваги, але у випускників, які складають ЗНО з математики, найбільші труднощі викликають саме завдання с параметрами.



Мета: створити умови для інтелектуального розвитку учнів, підвищити ефективність навчальної діяльності через розвиток здібностей школярів.

Задачі:

  • підняти рівень як логічного так і абстрактного мислення, навчальний матеріал викладати більш об’ємно, виділяти в ньому логічні та образні компоненти;

  • враховувати індивідуальні особливості учнів;

  • моделювати процес навчання, як дослідницьку діяльність учнів;

  • розвивати інтелектуальну, творчу особливість.

Готувати учнів до розв’язання серйозних завдань, що містять параметри, потрібно починаючи з 5-6 класів. Наведу приклади цікавих задач, які розвивають логічне мислення учнів:

  • На 2-х руках десять пальців. Скільки пальців на 10 руках?

  • Кришка столу має 4 кута. Скільки кутів буде, якщо 1 із них відпиляти?

  • 5 рибалок за 5 годин почистили 5 судаків. За скільки годин 100 рибаків почистять 100 судаків?

  • У палиці 2 кінця. Скільки отримаємо кінців, якщо один із них відпиляти?

Так, у 6 класі багато уваги я приділяю розв’язанню прикладних задач. Наприклад, на пропорції та на відсотки. При проведені ділової гри «Відкриваємо ресторан (готель)» пропоную учням створити бригади дизайнерів, кухарів, бухгалтерів, знайти менеджерів, які будуть відкривати кредити в банках. Пропоную такі задачі.

  • Для дизайнерів:

Пофарбували 48 м2 кухні, що складає 60% всієї кухні. Скільки кв. метрів залишилось пофарбувати?

  • Для кухарів:

Є 100 г 30% розчину солі, який змішали з 200 г води. Яка концентрація розчину утворилась?

  • Для бухгалтерів:

Клієнт має 5 тис. гривень і хоче покласти їх до банку, щоб за один рік йому було нараховано 500 гривень відсоткових грошей, з якою відсотковою ставкою він повинен знайти банк?

  • Для менеджера:

Треба купити декілька метрів гардин. Відомо, що вартість тюлі спочатку підвищилась на 20%, а потім знизилась на 20%. Як змінилась вартість тюлі?

Особливо подобаються учням задачі Фермі (Енріко Фермі (1901-1954) – італійський фізик, лауреат Нобелевської премії). Йому належить такий вислів: «Людина знає фізику, якщо вона вміє розв’язувати задачі». Він любив знаходити відповіді на задачі-питання, на знаходження значень різних, часто досить різних величин. Наприклад, такі задачі я пропоную учням 8-9 класів:



  • Чи можуть усі китайці накрити шапками всю Україну?

  • Що важче: всі слони на Землі, чи вся мошкара?

  • Скільки часу треба кандидату в президенти України, якщо він схоче потиснути руку кожному українцю за період передвиборчої кампанії? Чи встигне він зробити це?

  • Скільки пудів солі з’їдає пересічний українець протягом життя? Чи поміститься ця сіль у бочку ємкістю 200 літрів?

  • З несправного крана капає вода, кожної секунди витікає крапля. Чи наповнить вода, яка витече протягом місяця, ванну?

Наприклад, при вивченні теми: «Стандартний вигляд числа», 8 клас, при розв’язуванні задачі, чи можуть всі китайці накрити шапками всю Україну, треба знайти діаметр шапки (приблизно 40 см). Знати формулу площі круга, знайти дані з географії про населення Китаю (близько 1,314 млрд. чол.), площу України, площу Куйбишевського району міста Донецька.

При розв’язуванні задачі про несправний кран треба знати діаметр краплі води, знайти формулу об’єму шару, густину води, об’єм ванни та інше.

Подібні задачі не тільки цікаві, вони не менш корисні для формування математичної культури учнів. Адже в реальному житті більшість випускників школи буде знаходити наближений результат, оцінювати кількісні характеристики реальних явищ, прогнозувати числові оцінки подій. Вправи такого типу сприяють формуванню операційної культури обчислень, яка взаємопов’язана з математичною грамотністю. Такі задачі потребують не тільки знань з математики, а й з фізики, хімії, географії, історії, нарешті, якщо дані знайти неможливо, оскільки їх просто не існує, то на допомогу приходить здоровий глузд. І все це сприяє розвитку розумових здібностей учнів.

Вся ця пропедевтична робота дозволяє вже починаючи, з 7 класу, переходити до розв’язання більш складних нестандартних задач, а саме задач з параметрами.



Відомості про параметри.

В школі, як відомо, розв'язанню задач з параметрами приділяється дуже мало уваги. Хоча ясно, що з точки зору розвитку логічного мислення вони відіграють важливу роль.

Задачі з параметрами – один із потужних засобів узагальнення та систематизації знань учнів, формування в них гнучкості, критичного мислення. Якою б не була умова завдання: розв'язати рівняння, нерівність, систему, визначити особливості їх розв'язків в залежності від значень параметра, така задача, безумовно, є дослідницькою. Вона потребує від того, хто розв'язує її, високого рівня знань фактичного матеріалу, розуміння багатьох математичних нюансів і особливо якостей мислення.

Не можна в той же час стверджувати, що в школі зовсім не розв'язуються задачі з параметрами, або зовсім відсутня ідея параметра. Вже в 7 класі при розв'язуванні лінійного рівняння загального вигляду учні повинні розв'язувати лінійне рівняння виду ах=в тобто рівняння з двома параметрами, а у 8 класі задача розв'язання загального квадратного рівняння ах2+bх+с=0 являє собою задачу з трьома параметрами.

Задачі з параметрами викликають у більшості учнів якщо не панічний страх, то почуття незручності. Більшість учнів або зовсім не знають як підступитися до розв'язування такої задачі, або наводять величезні викладки, в яких не вистачає логіки. Оскільки параметр розглядається як число, значення якого фіксоване, але невідоме тому, хто розв'язує задачу. Фіксованість цього числа дозволяє оперувати з ним як з відомим числом, а невідомість вносить в розв'язання задачі деякі ускладнення, пов'язані з тим що не будь-яку дію можна виконувати з будь-яким числом: не на будь-яке число можна ділити; знаходити квадратний корінь та ін.

Невідомість також приводить до необхідності розгалуження (разветвления- рос.) розв'язків, а також і до відповідного галуження відповіді. Ці обставини ускладнюють задачу, але розвивають розумові здібності учнів, варіативне мислення, активізують їх знання про функції, про область визначення, про можливість чи неможливість виконання операцій над числами. Задачі з параметрами, їх розв'язання є одним з важливих засобів боротьби проти формалізму при розв'язуванні задач. Вони дисциплінують розум учня, вчать його переборювати труднощі.

Важливим етапом розв'язання задач з параметрами є запис відповіді. Особливо це відноситься до тих задач, в яких можливі різні варіанти відповідей в залежності від значень параметра. Галуження розв'язків потребує більш високої математичної культури, логіки, проте виховання такої культури і є однією з найважливіших цілей у навчанні математиці.

В шкільному курсі математики, на жаль, не приділяється достатньо уваги розв'язання навіть стандартних задач з параметрами, тому неподолані труднощі викликають у учнів задачі з логічно ускладненими формулюваннями. Так, в цих задачах, не треба розв'язати рівняння чи нерівність, а потрібно з'ясувати, наприклад, при яких значеннях параметра вони мають розв'язки, що належать деякому інтервалу. Здавалось би, розв'яжи таке рівняння безпосередньо при всіх значеннях параметра, відбери відповідні значення параметра, що задовольняють умову задачі. Проте, логічно ускладнені задачі пропонуються тільки тоді, коли «прямий» розв'язок практично неможливий.

Учні повинні самостійно знайти новий тип міркування, нові шляхи розв'язання, складність значно підвищується за рахунок незвичності, нестандартності формулювання.

Параметри зустрічаються навіть частіше, ніж ми собі уявляємо. Вивчення багатьох процесів і геометричних закономірностей приводять до розв'язування таких рівнянь, тому важко розраховувати на те, що учні самостійно дістануть правильні уявлення про суть параметра із теоретичних міркувань, тому допомогти їм у цьому повинен учитель. Треба пам'ятати також те, що розв'язання завдань з параметрами стане учням в нагоді на ЗНО, уміння розв'язувати такі задачі дозволяє кожному з них розширити грані своїх можливостей.



Основні типи задач з параметрами.

Тип 1. Рівняння, нерівності та їх системи, яки необхідно розв'язати або для будь-якого параметра , або для значення параметра, який належить обумовленій множині. Ці задачі є базовими при вивчені теми «Задачі з параметрами». Від успішності оволодіння навичками розв'язувати їх залежить і успіх при розв'язуванні інших задач.

Тип 2. Рівняння, нерівності, їх системи, в яких треба визначити кількість розв'язків в залежності від значень параметра. При їх розв'язанні немає необхідності а ні розв'язувати дані рівняння, нерівності, системі, а ні приводити ці розв'язки. Така зайва, у більшості випадків, робота є тактичною помилкою, що приводить до непотрібних затрат часу. Однак, у деяких випадках прямий розв'язок у відповідності з типом і є єдиною можливістю отримати відповідь при розв'язуванні задач типа 2.

Тип 3. Рівняння, нерівності, їх системи, що мають задану кількість розв'язків (безліч розв'язків).

Тип 4. Рівняння, нерівності, їх системи, в яких при шуканих значеннях параметра, множина розв'язків задовольняє до заданих умов в області визначення.

Наприклад, знайти значення параметра при яких:



  • Рівняння виконується для будь-якого значення змінної із заданого проміжку.

  • Множина розв’язків одного рівняння є підмножиною розв’язків іншого.

Основні способи розв’язання задач з параметрами.

Основний принцип розв’язання параметричних рівнянь:



  • Необхідно розбити область зміни параметра на інтервали, щоб при зміні параметра у кожному з них отримані рівняння можна було розв’язати одним і тим самим методом.

  • Окремо для кожного інтервалу знаходять корені рівняння, які виражені через значення параметра.

Спосіб 1 (аналітичний). Це спосіб так званого прямого розв’язування, який повторює стандартні процедури знаходження відповіді в задачах без параметра. Його ще називають силовим, або у доброму розумінні «нахабним» розв’язанням.

Аналітичний спосіб є самим важливим, він потребує високої математичної грамотності.



Спосіб 2 (графічний). В залежності від задач (зі змінною х та параметром а) розглядаються графіки або у координатній площині (x,y), або у координатній площині (х,а).

Виняткова краса і наочність графічного способу розв’язання задач з параметрами захоплює. Інколи учні починають пропонувати інші способи, забуваючи про те, що для будь-якого типу задач їх автори можуть сформулювати таку задачу, яка просто розв’язується даним способом, але використання інших способів викликає великі труднощі. Тому на початковій стадії вивчання цієї теми починають із графічних прийомів розв’язання задач с параметрами.



Спосіб 3 (розв’язання відносно параметра). При розв’язанні цим способом змінні х і а розглядаються як рівноправні і обирається та зміна, відносно якої аналітичне розв’язання більш просте. Після спрощень повертаємося до початкового змісту змінних х і а, та закінчуємо розв’язання.

Лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до лінійних.

Рівняння виду ax+b=0, де a i b – параметри, х – змінна називаються лінійними відносно х.

Воно зводиться до вигляду ах=b, деb≠0.

Головне, що потрібно засвоїти під час першого знайомства з параметром – це необхідність обережного поводження з фіксованим, але невідомим числом. Під час розв’язання рівнянь з параметрами доводиться «гнатися за двома зайцями»: відслідковувати незалежну змінну і параметр одночасно, їхній вплив один на одного.

Як показує мій досвід, на етапі пошуку розв’язків рівняння чи нерівності з параметрами, зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, по яким можна легко прослідити, в який момент ми не змогли одночасно виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелось розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого.

Звичайно, необов’язково так оформлювати розв’язання задачі, але такі схеми значно спрощують складання плану розв’язання рівняння чи нерівності з параметрами і роблять реалізацію цього плану наочною і очевидною.

Слідує звернути увагу на запис відповіді рівняння з параметром він повинен бути записаний при всіх значеннях параметра а є (-∞; +∞). До того ж, якщо якесь значення параметра а не є допустимим, то в цьому випадку слід записувати, що при даному значенні параметра рівняння не існує, або не має змісту, а при всіх інших значеннях параметра, що входять до ОДЗ параметра, відповідно записують знайдені розв’язки.

Якщо розв’язки зображувати в вигляді схеми, то відповіді в прямокутних рамках рухаються по лініям від умови, фіксуючи обмеження для параметрів.

Схема розв’язування такого рівняння.

ax = b

якщоa = 0, то

0x = b

якщоa ≠ 0, то

- єдиний розвязок

якщоb = 0, то

0 x = 0

xбудь-яке число
якщоb ≠ 0, то коренів немає

І прикладом цього є застосування даних схем на уроках з теми «Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, що зводяться до лінійних (9 клас)» (див. Додаток 1)

Приклад 1. Розв’язати рівняння (а2-1)х=а+1.

Розв’язання.

У цьому рівнянні х – змінна, а – параметр. Отже відносно змінної х – це лінійне рівняння



Якщоа≠±1


Якщоа=-1

Якщоа=1


0x=0 – вірно при будь-якому х

0х=2 - невірно

єдиний розв’язок

безліч розв’язків

немає розв’язків


Відповідь: 1) якщо а≠±1, то – єдиний розв’язок;

2) якщо а=-1, то рівняння має безліч розв’язків;

3) якщо а=1, то немає розв’язків.

Приклад 2. (а2-1)х=а2+3а-4

Розв’язання.



Виразимо x через а



Якщоа≠±1


Якщоа=1

Якщоа=-1


0x=0 – вірно при будь-якому х

0х=-6 - невірно

єдиний розв’язок

безліч розв’язків

немає розв’язків

Відповідь: 1) якщо а≠±1, то – єдинийрозв’язок;

2) якщо а=1, то рівняння має безліч розв’язків;

3) якщо а=-1, то немає розв’язків.

Розглянемодеякі рівняння, що зводяться до лінійних.

Приклад 3. Розв’язати рівняння а2х-1=х+а.

Розв’язання.

а2х-1=а+1

2-1)х=а+1




Якщоа≠±1


Якщоа=-1

Якщоа=1


0x=0 – вірно при будь-якому х

0х=2 - невірно

єдиний розв’язок

безліч розв’язків

немає розв’язків

Відповідь: 1) якщо а≠±1, то – єдиний розв’язок;

2) якщо а=-1, то рівняння має безліч розв’язків;

3) якщо а=1, то немає розв’язків.

Розглянемо більш складний приклад.

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

ОДЗ рівняння: x≠2, x≠-2

m(x+2)-3(x-2)=m2+2m-3

mx+2m-3x+6=m2+2m-3

(m-3)x=m2-9


якщоm≠3, то якщо m=3, то х=m+3, але 0х=0 – вірно х≠±2 * при будь-якому х≠±2

єдиний розв’язок х – будь-яке число

окрім х=2 і х=-2

* 1) 2≠m+3 2) -2≠m+3

m≠-1m≠-5 тому що для цих значень параметра ми дістанемо «заборонені» значення змінної х.

Відповідь: якщо m≠3, m≠-1, m≠-5, то х=m+3 – єдиний розв’язок;

якщо m=3, то х – будь-яке число окрім х=2 і х=-2;

якщо m=5 або m=-1, то розв’язків немає.

Звернути увагу учнів на те, що істотним етапом розв’язання є запис відповіді. Це здобуті під час розв’язання рівняння з параметром і зібрані разом результати. Записавши відповідь, обов’язково треба перевірити, чи всі можливі значення параметра враховано!

Приклад 5. Розв’язати рівняння (а2-1)х-(2а2+а-3)=0.

2-1)х=(2а+3)(а-1)

Якщоа≠±1


Якщоа=1

Якщоа=-1


0x=0 – вірно при будь-якому х

0х=2 - невірно

єдиний розв’язок

безліч розв’язків

немає розв’язків

Відповідь: 1) якщо а≠±1, то – єдиний розв’язок;

2) якщо а=1, то рівняння має безліч розв’язків;

3) якщо а=-1, то немає розв’язків.

Приклад 6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

ОДЗ рівняння і параметра х≠-3; m≠1.

Після зведення до спільного знаменника одержимо

3mx-5+(3m-11)(x+3)-(m-1)(2x+7)=0

3mx-5+3mx-11x+9m-33-2mx+2x-7m+7=0

x(4m-9)=31-2m




якщо, то якщо , то , але 0х=26.5 – невірно х≠-3 *
єдиний розв’язок не має розв’язків

* Необхідно перевірити при яких mx=-3




-12m+27=31-2m

10m=-4


m=-0.4

тому що для цього значення параметра ми дістанемо «заборонене» значення x.

Відповідь: 1) якщо m≠1,і m≠-0.4, то рівняння має єдиний розв’язок ;

2) якщо im=-0.4 - то рівняння немає розв’язків;

3) якщо m=1, торівняння не існує, бо на нуль не можна ділити.

Приклад 7. При яких значеннях параметра а рівняння



має додатні корені?

Розв’язання.

Розв’яжемо систему:

ОДЗ рівняння і параметра

(3x2+5-ax)(ax-4)=(3+ax2-4x)(3x-a)

після спрощення отримаємо:

Відповідь: при



Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних.

Рівняння виду ax2+bx+c=0, де х – змінна; a, b, с – вирази, які залежать тільки від параметрів (а≠0) називають квадратним відносно х.

Допустимими будемо вважати тільки ті значення параметрів, при яких a, b, с – дійсні.

ax2+ bx+ c=0, (a0)

;

;

Ми підійшли до необхідності знаходження квадратного кореня із D, знак якого нам невідомий

якщоD>0, то

;

два різних

кореня

якщоD = 0, то

;

два однакових

кореня

якщоD<0, то

коренів немає

Приклад 1.

Приклад 2. Розв’язати рівняння ах2=1.

ax2 = 1



якщо a 0, то

розвязків немає

якщоa > 0, то

Розв’язання.


Відповідь: розв’язків немаєпри a0;

при a>0.

Приклад 3. Розв’язати рівняння ах2=b.



ax2 = b.

якщоa=0

якщоa≠0

якщоb=0, то

xбудь-яке

число

якщоb≠0, то

розв’язків немає



якщоb=0, то

x = 0

якщоb ≠ 0

якщоa іb різних знаків, то розв’язків немає

якщоaіb одного знаку, то

Розв’язання.


Відповідь: розв’язків немає при a=0, b≠0 та при aіbрізних знаків;

x – будь-яке число при a=0, b=0;

x = 0 при a≠0, b=0;

при aіbодного знаку.

Приклад 4. Розв’язати рівняння а2х-1=х+а.

Розв’язання.

a2x – 1 = x + a

a2x – x = a + 1,

x(a2 – 1) = a + 1,

якщоa2–1≠0,

т.е. a ≠1, то



якщоa2–1=0

якщоa=1, то

0 ∙ x = 2,

немаєкоренів

якщоa=–1, то

0 ∙ x = 0,

xбудь-яке число

Відповідь: 1) немає коренів при a=1;



2) xбудь-яке число при a= –1;

3) при a1.

Приклад 5.

(а+1)х2+2ах+а-2=0

Розв’язання.

(а+1)х2+2ах+а-2=0

(а+1)х2+2ах+а-2=0

а+1=0,


а= -1

-2х-3=0


а+1≠0,


а≠-1

D<0,a<2


D=0, a=-2

D>0


коренів немає



Відповідь: 1) якщо а=-1, то ;

2) якщо а≠-1, то при а=-2, х=-2

при а<-2 – коренів немає

при -2-1,

Приклад 6.

Визначити кількість коренів рівняння залежно від а

2-(х2-х+1)(х2-х)=(х2-х+а) (1)

Розв’язання.

Позначимо х2-х=t, тоді рівняння (1) набуває вигляду

2-(t+1)t=t+a

2-t2-t=t+a

t2+2t+(a-2)=0

Кількість коренів залежить від знака



ЯкщоD1<0

3-a<0

a>3


ЯкщоD1=0

a=3


ЯкщоD1>0

a<3


коренів немає

t1=-1

x2-x=-1

x2-x+1=0



коренів немає

корені рівняння

Отже потрібно з’ясувати скільки коренів має рівняння

або

Немає розв’язків при 1)Якщо ,

жодних значенняхтобто , то вихідне рівняння

параметра а має 1 корінь

2)Якщо ,

тобто ,

рівнянняне має

дійсних коренів.

3)Якщо ,

тобто ,



рівняння має 2 корені

Відповідь: 1) якщо , то рівняння має 2 корені;

2) якщо , то – 1 корінь;

3) якщо , то дійсних коренів немає.

Приклад 7. При яких значеннях параметра а рівняння має один корінь

Розв’язання.

Дане рівняння рівносильне такій системі

Знайдемо D=9a2-4(2a2-a-1)=a2+4a+4=(a+2)2≥0



  1. якщо а=-2, то рівняння має один корінь х=3, що задовольняє умову х≠-1

  2. якщо а≠-2, то дістанемо ; .

Рівняння буде мати один розв’язок, якщо ; .

Відповідь: якщо а=-2, а=-1, а=0, то рівняння має один розв’язок.

Приклад 8. При якому значенні параметра а сума коренів рівняння х2-(а2+а)х+3а=0 дорівнює 2?

Розв’язання.

Рівняння має корені, якщо його дискримінант D=(a2+a)2-12a≥0. За теоремою Вієта х122+а. Таким чином, дістаємо систему




a=-2

Відповідь: При а=-2.


Ірраціональні рівняння з параметрами

Під час розв’язування рівнянь, які містять вирази ірраціональні відносно х слід враховувати ОДЗ рівняння, рівносильність перетворень, які виконуємо. Тобто, перед тим, як підносити обидві частини до квадрата, треба проаналізувати, яких значень (додатних чи від’ємних) може набувати кожна частина. Можлива поява зайвих коренів. Отже, розв’язання рівнянь повинно супроводжуватися ретельною перевіркою. Важко вказати один який-небудь загальний і разом з ним простий спосіб розв’язання ірраціональних рівнянь, розглянемо різні способи.

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Дане рівняння рівносильне системі



;

Відповідь: 1) якщо а=4, то ;



  1. якщо а≠4, то коренів немає.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Нехай де t≥0, тоді


Відповідь: Якщо , то х=-а; х=1-а.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Помітимо, що чисельник дробу є сумою кубів . Оскільки , то можна скоротити на цей вираз. Дістанемо



Відповідь: якщо a>b, то x=a; x=b;

якщо a≤b, то розв’язків немає.

Приклад. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Піднесемо обидві його частини до квадрату і отримаємо





При а=2 рівняння має вигляд 0х=5 – невірно, тобто, не має розв’язків.

При а≠2, . Щоб перевірити корінь підставимо отримане значення х у ліву частину рівняння.



;

Якщо та , то .

Якщо .

Права частина при дорівнює виразу . Звідси, очевидно, що є розв’язком даного рівняння при та при a>2. При – розв’язків немає.

Відповідь: Якщо то – корінь.

Якщо , то розв’язків немає.



Графічний метод розв’язання рівнянь і нерівностей з параметрами.

Залежно від того, яка роль відводиться задачі параметру (нерівноправна чи рівноправна зі зміною) можна відповідно виділити два основних графічних прийоми:



  1. побудова графіків на координатній площині (х;у);

  2. побудова графіків на координатній площині (х;a);

При використанні другого прийому, параметр дорівнюється у правах зі зміною, будується графічний образ у площині (х; a), потім отриманий графік перетинається з прямими, які будуть, перпендикулярні до параметричної осі, та «знімається» необхідна інформація.

Пропоную учням такий алгоритм розв’язання.



  1. Знаходимо ОДЗ рівняння.

  2. Виражаємо aяк функцію від х.

  3. В системі координат (х; a) будуємо графіки функцій а=f(x) для тих

значень х, які входять в ОДЗ. Знаходимо точки перетину прямої а=С, де СR, з графіком а=f(x). Якщо пряма а=С перетинає графік а=f(x), то знаходимо абсциси точок перетину. Для цього достатньо розв’язати рівняння а=f(x) відносно х.

  1. записуємо відповідь.

Розглянемо приклад, який показує красу цього способу та його наочність.

1. Розв’язати рівняння ах + 1 = (1)

Розв’язання

Тому що х=0– не є коренем цього рівняння, то можна розв’язати це рівняння відносно а, а=або а =, якщо х- 2; та якщо х> 2.

Графіком функції є «склеєні» гіперболи. Кількість точок перетину цієї лінії з прямою у = а визначає кількість розв’язків.

Якщо а , то пряма перетинає графік рівняння в одній точці з абсцисою, яку знайдемо при розв’язанні рівняння а= відносно х: ах = х+1; х = . Якщо , то пряма а перетинає графік рівняння у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти із рівняньі . Одержимо:


Якщо , то пряма у = ане перетинає графік рівняння (1). Це означає, що розв’язків немає.

Відповідь: 1) якщо , то х = ;

2) якщо , то ;

3) якщо , розв’язків немає.


Х

1

4



1

y = a

2

3



-2

-1

-4



0

У

-3



(a<0)

y = 4

Приклад 2.

При яких значеннях параметра рівняння має рівно три корені.


Розв’язання.

Побудуємо графік функції . Для цього спочатку побудуємо графік квадратного тричлена у= х що являє собою параболу з вершиною (1; - 4) і вітками, що направлені вгору. Потім симетрично відносно осі ОХ відобразимо ділянки графіка, що знаходяться в нижній півплощині, достанемо графік функції, що розташований у лівій частині рівняння. Графіки функцій у=а– це сімейство прямих, паралельних осі ОХ. Легко визначити, що в момент дотику лінія і пряма перетинаються тричі. Відповідь очевидна.


Відповідь: при а=4.

Приклад 3.

Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра?

Розв’язання.

Побудуємо графік функції, що міститься в лівій частині рівняння. Відразу помітно, що вона парна, потім досить побудувати Ії графік при і симетрично відобразити від осі ОУ.


0

-1



1

y=a

У

Х



-1

1

2



- 2

Графіком функції є парабола вершиною в точці (1; -1) і вітками направленими вгору. Графік функції одержано з попереднього симетрією «нижньої» частини графіка відносно осі ОХ. Графік функції дістанемо в результаті симетрії відносно осі ОУ.

Переміщаючи пряму у=а уздовж осі ОУ дістанемо відповідь.
Відповідь: при а < 0 – розв’язків немає;

при а=0 – три розв’язки;

при – шість розв’язків;

при а=1 – чотири розв’язки;

при а > 1 – два розв’язки.

Приклад 4.

При яких значеннях параметра а система має єдиний розв’язок?


Розв’язання.

Графіком першого рівняння є коло з центром у початку координат і радіусом R=4. Графіком другого рівняння э коло з центром у точці (а;0) і радіусомR=1. система має один розв’язок, якщо кола дотикаються внутрішнім або зовнішнім способом. Отже центри другого кола можуть розміщуватись на осі ОХ, що розташованіна відстані 1 від точок перетину оси ОХ з графіком першого кола.

У

Х

-4



4

4

-4



0

С

А



В

D

Приклад 5.

Визначити кількість коренів рівняння залежно

від значень параметра а.

Розв’язання.

Побудуємо графік функції для х > 0, а потім симетрично відобразити його відносно осі ОУ. Дістанемо графік.

0

y = a


-1

У

Х



1

1

(a < 0)



Відповідь: якщо а<0, то рівняння немає розв’язків;

якщо а> 1, то рівняння має три розв’язки;

якщо 0< а<1, то рівняння має чотири розв’язки;

якщо а=0, то рівняння має два розв’язки х=- 1; х=1.



Приклад 6.

При яких значеннях параметра а система має тільки чотири розв’язки?


Розв’язання.
Побудуємо графік рівняння .

При x> 0,y> 0;x+ y =1;y=1-x.

Приx> 0,y< 0;x-y = 1;у = x – 1.

Приx< 0,y> 0; - x+y =1;y = x+1.

При x< 0,y< 0; - xy = 1; y= 1- x.
Графік рівняння є квадрат з вершинами у точках (0; 1), (- 1; 0), (о; - 1), і (1; 0). Графік другого рівняння є коло з центром у початку координат і радіусом а.

У

Х



-1

1

-1



1

0 0


Чотири розв’язки система має, коли коло описано навколо квадрата, або вписано в квадрат. У першому випадку а=1, у другому випадку а=r, де rрадіус вписаного у квадрат кола, сторона квадрата - . Отже, r =.

Відповідь: 1; .


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка