В зависимости от соотношения между коэффициентами  и линейные цепи могут быть усилителями, фильтрами, корректорами и другими устройствами подобного рода.
2.13. Фильтры с конечной импульсной импульсной
характеристикой-КИХ-фильтры
Фильтры с конечной импульсной характеристикой-КИХ-фильтры нашли широкое практическое применение благодаря простоте и возможности программной реализации.
Логические понятия “дискретная система” и “дискретный фильтр” абсолютно идентичны. Различия заключаются лишь в том, что для фильтров различных типов – нижних частот ФНЧ, верхних частот ФВЧ и полосовых ПФ- полоса пропускания и задержки конкретизируется и задается в исходных данных. Обработка сигналов и расчет фильтров осуществляются обычно в цифровой форме, когда каждому отсчёту ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, таким образом, действия над дискретными отсчётами заменяются действиями над кодовыми словами. Дискретная цепь становится цифровой цепью и в общем случае цифровым фильтром (ЦФ). Перевод дискретных отсчётов в двоичные кодовые слова осуществляется АЦП – аналого- цифровым преобразователем. На выходе цифрового фильтра производится обратная операция (рис.2.6): в цифро–аналоговом преобразователе кодовые слова преобразуются в отсчёты дискретного сигнала и после синтезирующего фильтра снова становятся аналоговым сигналом.
Д
АЦП
ФС
ЦФ
ЦАП
x(t) x(kT) y(kT) y(t)
Рис. 2.6. Линейная дискретная система
Д – дискретизатор сигнала,
АЦП – аналого-цифровой преобразователь,
ЦФ – цифровой фильтр,
ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь,
ФС - фильтр-синтезатор.
Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми выражениями. Ошибки связаны обычно с размерностью квантования. Однако, увеличивая разрядность кодовых слов, ошибки (шумы) квантования можно уменьшить до заранее заданной величины.
Различают нерекурсивные и рекурсивные цифровые фильтры (ЦФ). Нерекурсивные ЦФ вследствие большого числа значений импульсной характеристики имеют большое число конструктивных элементов. Но вместе с тем обладают рядом преимуществ: они всегда устойчивы, позволяют получить линейный фазовый сдвиг, просты в настройке. Поэтому нерекурсивные цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой – КИХ-фильтры – рассматриваются отдельно и рассчитываются по отдельной методике.
Важнейшей особенностью линейных дискретных систем является то, что все они могут быть заданы композицией следующих трёх элементов (рис.2):
-
Сумматора отсчетов: y(kT)=x1(kT)+ x2(kT);
-
Умножителя на постоянный коэффициент А: y(kT)=Ax(kT);
-
Задержки на такт дискретизации: y(kT)=y(kT-T).
x2(kТ)
x(kT) x(kТ)
Задержка на Т
b
x1(kТ)
y(kT)=x1(kT)+x2(kT) y(kT)=b*x(kT-T) y(kT)=x(kT-T)
Рис.2.7. Основные структурные элементы ЛДС
2.13.1. Уравнение фильтрации
Уравнение фильтрации нерекурсивных фильтров для нормированного времени Т=1 имеет вид:
(2.42)
Структурная схема нерекурсивных фильтров показана на рис.2.8.
С
У
М
М
А
Т
О
Р
хk b0 yk
z-1
хk
b1
xk-1
z-1
b2
xk-2
xk-m+1
z-1
bm-1
xk-m bm
Рис.2.8. Нерекурсивный фильтр
Порядком фильтра называется количество предыдущих отсчетов сигнала, используемых для получения выходной реакции.
Импульсная характеристика фильтра находится, если в уравнение (2.40) вместо входного сигнала x(k-i) подставить дискретный δ-импульс. Тогда на выходе получаются значения импульсной характеристики в точках, где аргумент δ-импульса равен 0. Результат получается следующий:
(2.42)
Вывод. Импульсная характеристика КИХ-фильтра конечна и равна коэффициентам bk.
2.13.2. КИХ-фильтры с линейной фазой
Нерекурсивный фильтр позволяет получить чётную или нечетную импульсную характеристику и, как результат, линейную ФЧХ при произвольной АЧХ, что следует из теоремы о спектре четных и нечётных сигналов: спектр фаз чётных и нечётных сигналов линеен.
КИХ-фильтры с чётными импульсными характеристиками называются симметричными, а с нечётными – асимметричными. Каждый из двух типов КИХ-фильтров имеет свои особенности.
2.13.3. Симметричные фильтры с линейной фазой
1. Симметричные КИХ-фильтры с нечетным N. На рис. 2.9 представлена структурная схема фильтра для случая N=5.
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2 b1 b0 b1 b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.9. Симметричный КИХ-фильтр с N=5
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=5 имеет вид:
(2.42)
После подстановки с учётом формулы Эйлера выражение для передаточной функции принимает вид:
Формулы АЧХ и ФЧХ:
Фазочастотная характеристика строго линейна.
2. Симметричные КИХ-фильтры с чётным N. На рис. 5 представлена структурная схема фильтра для случая N=4.
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2 b1 b1 b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.10. Симметричный КИХ-фильтр с N=4
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=4 имеет вид:
(2.43)
После подстановки с учётом формулы Эйлера выражение для передаточной функции принимает вид:
Формулы АЧХ и ФЧХ:
2.13.4. Асимметричные фильтры с линейной фазой
На рис. 2.11 представлена структурная схема асимметричного фильтра с линейной фазой фильтра для случая N=5.
Z-1
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2 b1 b0 -b1 -b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.11. Асимметричный КИХ-фильтр с N=5
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=5 имеет вид:
(2.44)
После подстановки с учётом формулы Эйлера выражение для передаточной функции принимает вид:
2.13. 5. Формулы АЧХ и ФЧХ
2. Асимметричные КИХ-фильтры с чётным N. На рис. 2.12 представлена структурная схема фильтра для случая N=4.
Z-1
Z-1
Z-1
x(kT)
b2 b1 - b1 - b2
СУММАТОР
y(kT)
Рис.2.12. Асимметричный КИХ-фильтр с N=4
z-передаточная функция линейной дискретной цепи с N=4 имеет вид:
(2.45)
После подстановки с учётом формулы Эйлера выражение для передаточной функции принимает вид:
Формулы АЧХ и ФЧХ:
2.13.6. Шесть формул расчёта КИХ-фильтров слинейной фазой
Ниже приведены шесть формул расчёта КИХ-фильтров с линейной фазой, полученные на основании рассмотренных выше примеров [3]
1. Симметричные фильтры.
a) (1)
б) Если N-нечетное, то АЧХ-четная функция:
(2)
Применяется при условии W(0.5ωд)≠0.
в) Если N-четное, то АЧХ-нечетная функция:
(3)
Применяется при условии W(0.5ωд)=0.
2. Асимметричные фильтры.
a) (2.46)
б) Если N-нечетное, то АЧХ-нечетная функция:
(2.47)
Применяется при условии W(0.5ωд)=0.
в) Если N-четное, то АЧХ-четная функция:
(2.48)
Применяется при условии W(0.5ωд)≠0.
Выводы. 1. КИХ-фильтры с линейной фазой должны иметь симметричные либо асимметричные коэффициенты .
2.z-передаточная функция КИХ-фильтра описывается выражением:
(2.49)
3. Импульсная характеристика КИХ-фильтра по значениям совпадает с его коэффициентами :
g(kT= bk , k=0,1,…,n. (2.50)
Пример 2.5. Сигнал на выходе КИХ-фильтра описывается разностным уравнением:
Поділіться з Вашими друзьями: | 
