Бердянськ 2009 (06)



Сторінка21/28
Дата конвертації11.04.2016
Розмір5.84 Mb.
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   28

Перспективи подальших пошуків у напрямку дослідження. Викладені теоретичні та методичні аспекти будуть використані при побудові кубатурних формул для обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій трьох змінних.
ЛІТЕРАТУРА

1. Задирака В. К., Мельникова С. С. Цифровая обработка сигналов / В. К. Задирака, С. С. Мельникова. – К. : Наукова думка, 1993. – 294 с.

2. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Х. : Основа, 2002. – 544 с.

3. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Загальний метод побудови оптимальних за порядком точності кубатурних формул наближеного обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій двох змінних з використанням інтерлінації функцій / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів : праці восьмої міжнародної всеукраїнської конференції (28-31 серпня 2006 р.). – К., 2006. – С. 207-210.

4. Литвин О.М., Нечуйвітер О. П. Інтерлінація та oптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Електроніка та системи управління. – 2008. – № 4 (18). – С. 5-14.

5. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Кубатурні формули для обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних з використанням сплайн-інтерлінації / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Доповіді НАН України. – К., 1998. – № 1. – С. 23-28.

6. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних за допомогою бікубічної сплайн-інтерлінації / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения : сб. научных трудов. – К. : институт математики НАН Украины, 1996. – С. 176-177.

7. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних за допомогою квадратичної сплайн-інтерполяції, побудованої на основі сплайн-інтерлінації / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Праці Сьомої всеукраїнській міжнародній конференції “Оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів“. – К., 2004. – С. 289-292.

8. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Оптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій на основі сплайн-інтерлінації / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Доповіді НАН України. – К., 2006. – № 6. – С. 9-13.

9. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Оптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення подвійних інтегралів від швидко осцилюючих функцій та сплайн-інтерлінація / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // Таврічний вісник інформатики та математики. – Симферополь. – 2008. – № 2. – С. 13-17.

10. Литвин О. М., Нечуйвітер О. П. Оптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій на основі сплайн-інтерлінації на класі диференційованих функцій / О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер // 11 Міжнародна наукова конф. імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 року) : матеріали конференції. – К., 2006. – С. 492.

11. Нечуйвітер О. П. Кубатурна формула обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій з використанням інтерлінації / О. П. Нечуйвітер // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения : сб. научных трудов. – К. : институт математики НАН Украины, 1999. – С. 166-169.

12. Нечуйвітер О. П. Сплайн-інтерлінація функцій та оптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних / О. П. Нечуйвітер // Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування : Міжнародна наукова конференція (18-23 вересня 2006р.). – Ужгород, 2006. – С. 60-61.

Дата надходження статті: 05.05.2009 року.

Дата прийняття статті до друку: 04.12.2009 року.

УДК 519.6

О. М. Литвин,

доктор фізико-математичних наук, професор

(Українська інженерно-педагогічна академія),

Ю. І. Першина,

кандидат фізико-математичних наук

(Національний технічний університет

“Харківський політехнічний інститут”)


ВВЕДЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ 4D МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДО КУРСУ “ПК В МАТЕМАТИЧНИХ РОЗРАХУНКАХ”
Постановка проблеми. За програмою курсу “ПК в математичних розрахунках” студенти мають засвоїти сучасні математичні методи дослідження, моделювання під час розв’язування прикладних задач. Основною метою цього курсу є оволодіння слухачами обчислювальними методами математики та їх реалізацією на ПЕОМ. Важливе місце відводиться задачам апроксимації, інтерполяції, інтерлінації та інтерфлетації функцій [2]. У статті подається методика викладання розділу, присвяченого використанню комп’ютерної техніки під час побудови 4D математичних моделей на прикладі відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла, яка змінюється з часом. Це завдання належить до найбільш актуальних завдань сучасності. Воно постає в різних областях науки та техніки, зокрема в медичній практиці, у випадку проведення декількох повторних досліджень пацієнта в різні моменти часу та необхідності аналізу на їх основі ефективності лікування. Зазначимо також важливість вміння обробляти сейсмічні сигнали під час дослідження кори Землі [1].

Аналіз досліджень і публікацій. В окремих випадках (наприклад, під час дослідження тривимірної моделі серця) необхідно враховувати, що повна зміна внутрішньої структури об’єкта здійснюється приблизно за одну секунду. Тому, якщо ми бажаємо отримати послідовність математичних моделей тривимірного тіла в різні моменти часу, то для кожного з цих моментів часу необхідно виконати великий об’єм роботи. Для ефективного дослідження змін за часом, зокрема для прогнозу, очевидно, необхідним аналітичне за t, x, y, z подання внутрішньої структури тривимірного тіла. Особливо важливим є побудова чотиривимірних моделей на основі томографічних даних в різні моменти часу. Ця задача є дуже складною у зв’язку з великою кількістю інформації, яка використовується на кожному етапі часу, а також у зв’язку з обмеженнями на візуалізацію результатів відновлення в моменти часу, що не співпадають з моментами, для яких подано експериментальні дані. Зазначимо, що функція чотирьох змінних може бути візуалізована лише за своїми значеннями в окремих точках або графіком слідів на окремих лініях чи поверхнях (зокрема, площинах). У методі для побудови тривимірної моделі використовуються оператори інтерфлетації або мішаної апроксимації функцій багатьох змінних [2].

Мета статті – викласти деякі методичні аспекти побудови чотиривимірних математичних моделей динамічних тіл. Для більш чіткого зрозуміння тексту введемо необхідні визначення. Нехай задана функція чотирьох змінних як представляє собою щільність тривимірного тіла (або коефіцієнт поглинання, послаблення), що змінюється з часом t, та система площин .

Визначення 1. Слідом функції в момент часу на площині будемо називати функцію двох змінних або або , яка в кожній точці цієї площини приймає такі ж значення, що і функція



(1)

Визначення 2. Інтерфлетацією функції називається відновлення (можливо, наближене) функції в точках між площинами за допомогою її слідів (1) на цих площинах.

Визначення 3. Томограмою (слідом функції ) на площині в момент часу будемо називати одну з трьох функцій:

;

Томограму в момент часу , яка лежить, наприклад, на площині можна подати у вигляді функції двох змінних , тобто у вигляді сліду функції на площині. є матрицями попіксельних інтенсивностей освітлення (в чорно-білому або RGB форматі).

Викладемо методику побудови чотиривимірної математичної моделі рухомого тривимірного тіла. Нехай функція є внутрішньою структурою тривимірного об’єкта (під внутрішньою структурою розуміємо щільність або коефіцієнт поглинання тривимірного тіла) в момент часу t.

Як експериментальні дані будемо використовувати: 1) послідовність n моментів часу: ; 2) серію s площин, заданих рівняннями: ; 3) томограми тривимірного об’єкта , які лежать на заданих площинах та в задані моменти часу .

Томограми отримуємо за допомогою комп’ютерного томографу. Тобто маємо n груп томограм (в кожній групі по s томограм). У кожній групі томограми подано в один і той же момент часу, Але вони лежать на різних площинах. Зазначимо, що кількість томограм в різні моменти часу може бути, взагалі кажучи, різною. Це також відноситься і до кількості рівнянь площин, на яких лежать томограми. У різні моменти часу площини, на яких лежать томограми, можуть бути задані різними рівняннями. Спочатку побудуємо n тривимірних математичних моделей об’єкта для кожного з моментів часу з властивостями: . Тобто є функція , яка в точках площини в k-й момент часу співпадає із зображенням p-й томограмм. Для побудови таких функцій можуть використовуватися оператори сплайн-інтерфлетації, а також оператори мішаної апроксимації, які були побудовані авторами у працях [3; 4]. Якщо експериментальні дані (характеристики томограм – геометричні параметри площин, на яких лежать томограми, а також зображення на томограмах) задані точно, то можна використовувати метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за допомогою операторів інтерфлетації функцій [4]. Якщо ж експериментальні дані задані з похибкою, то можна використовувати метод розв’язання задач тривимірного комп’ютерної томографії за допомогою мішаної апроксимації [3]. Згадані методи відновлення внтурішньої стурктури тіла відрізняються високою точністю.

Після побудови тривимірних моделей будуємо чотиривимірну модель , використовуючи метод інтерполяції за змінною t у вигляді формули



, (2)

де – допоміжні функції від однієї змінної t з властивостями:



,

– символ Кронекера.

Ці функції можуть бути поліномами (алгебраїчними або тригонометричними), сплайнами (поліноміальними або періодичними) степеня r, r = 1, 2, 3,… і т.д.

Теорема 1. Якщо томограми , , що лежать на площинах , є слідами функції, яку наближуємо, , то можна будувати 4D математичну модель внутрішньої структури об’єкта, яка змінюється з часом у вигляді формули (2) з властивостями:



Відмітимо, що задача в такій постановці не має єдиного розв’язку. Але, при певних обмеженнях на клас функцій, яку наближуємо, вона буде мати єдиний розв’язок. Більш того, для деяких класів наближуваних функцій може бути оцінена похибка наближення.

Теорема 2. Нехай похибка задання томограм в моменти часу задовольняє співвідношенню:

похибка наближення операторами інтерфлетації (мішаної апроксимації) функції задовольняє співвідношенню:



,

похибка наближення оператором інтерполяції за змінною t задовольняє співвідношенню:



.

Тоді похибка наближення функції оператором , побудованим за формулою (2), буде мати вигляд:



.

В якості прикладу розв’яжемо наступну задачу: за заданими в різні моменти часу томограмами, які отримані за допомогою магнітно-резонансного комп’ютерного томографу Siemens, побудувати 4D математичну модель серця, яке змінюється з часом.

Авторами був проведений обчислювальний експеримент для відновлення внутрішньої структури серця людини, яке змінюється з часом. В якості експериментальних даних були взяті 1) n = 25 моментів часу; 2) s = 9 паралельних зрізів серця площинами, перпендикулярними вісі (метод дозволяє використовувати наряду з даними томограми також томограми, що лежать в інших перетинах, не перпендикулярних вісі ); 3) томограми серця, які лежать на s = 9 заданих площинах, в кожні з 25 моментів часу.

Тобто маємо 25 груп томограм. У кожній групі представлені томограми, зроблені в один певний момент часу, в дев’яти перетинах (тобто в кожній групі по 9 томограм). На рис. 1-3 показані приклади томограм в різні моменти часу в одних і тих же перетинах.





Рис. 1. Приклади томограм, отриманих з комп’ютерного томографу в момент часу t1, в перетинах x = 0,1, x = 0,3, x = 0,5, x = 0,8


Рис. 2. Приклади томограм, отриманих з комп’ютерного томографу в момент часу t7, в перетинах x = 0,1, x = 0,3, x = 0,5, x = 0,8


Рис. 3. Приклади томограм, отриманих з комп’ютерного томографу в момент часу t25, в перетинах x = 0,1, x = 0,3, x = 0,5, x = 0,8

На основі методу, розробленого в роботі [4], були побудовані 25 математичних моделей внутрішньої структури серця у вигляді функцій за допомогою операторів інтерфлетації функцій трьох змінних. Потім ці математичні моделі були використані при побудові 4D математичної моделі серця за допомогою операторів інтерполяції за змінною часу t. За допомогою побудованої 4D математичної моделі знайдемо зображення серця людини в площині, яка задається рівнянням x = a, в конкретний момент часу t = tпрогнозоване. Практична реалізація була проведена в системі комп’ютерної математики MatLab 6.5. На рис. 4-6 наведені результати обчислювального експерименту. Кожна фігура MatLab 6.5 має полотно (Canvas) для рисування, яке є двовимірним масивом пікселей. Кожному елементу цього масиву, в свою чергу, ставиться у відповідність колір. Відмітимо, що при програмуванні використовується RGB модель кольору, відповідно якої довільний колір можна представити як суперпозицію трьох основних кольорів – червоного (Red), зеленого (Green) та синього (Blue). Кожна з компонент – Red, Green чи Blue задається одним байтом, тобто можна відбивати 28=256 відтінків кольору (значення інтенсивності змінюється від 0 до 255, число 255 відбиває колір найбільшої інтенсивності). Повна кількість кольорів, яке можна задати трьома байтами, складає 2563=16777216, що є близьким до кольорової можливості людського ока (ця модель має назву True Color). Особливість комп’ютерної реалізації запропонованого методу лежить в необхідності дії на кожну з RGB компонент кольору окремо. Таким чином, у запропонованому методі здійснюється виділення окремих компонент кольору в заданій точці.





Рис. 4. Відновлення внутрішньої структури серця в площині x = 0,6 в моменти часу t5, t12, t20 відповідно



Рис. 5. Відновлення внутрішньої структури серця в площині x = 0,1 в моменти часу t5, t12, t20 відповідно



Рис. 6. Відновлення внутрішньої структури серця в площині x = 0,3 в моменти часу t5, t12, t20 відповідно

Висновки. Таким чином в роботі запропонована методика побудови чотиривимірної математичної моделі тривимірного тіла, що змінюється з часом, з використанням операторів інтерполяції або апроксимації за змінною часу t. Чотиривимірна модель будується на основі тривимірної моделі об’єкта, яка використовує оператори інтерфлетації або мішаної апроксимації функцій трьох змінних x, y, z. За допомогою побудованої чотиривимірної моделі знайдена математична модель об’єкту в конкретний момент часу = tпрогнозоване. В якості прикладу проведена візуалізація об’єкту (серця людини) в площинах, заданих дослідником з використанням томограм, отриманих за допомогою магнітно-резонансного комп’ютерного томографу Siemens. Продемонстровані результати обчислювального експерименту.

Перспективи подальших пошуків у напрямку дослідження. Отримана 4D модель може бути використана не тільки для знаходження зображення об’єкту в заданому перерізі у фіксований момент часу, який не співпадає з експериментально заданими значеннями часу, але і для аналізу течії хвороби шляхом дослідження поведінки функції чотирьох змінних в залежності від часу та від просторових координат.

ЛІТЕРАТУРА

1. Бурмин В. Ю. Вязкость земного ядра по сейсмическим данным / В. Ю. Бурмин // Доклады РАН. – 2008. – Т. 418. – № 1, 2, 3, 4, 5, 6. – С. 825-828.

2. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі їх застосування / О. М. Литвин. – Х. : Основа, 2002. – 544 с.

3. Литвин О. М., Першина Ю. І. Деякі аспекти викладання курсу “ПК в математичних розрахунках” / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Збірник наукових праць Бердянського педагогічного університету. – Бердянськ : БДПУ, 2008. – № 2. – С. 111-117.

4. Литвин О. М., Першина Ю. І. Метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла з використанням томограм та мішаної апроксимації / О. М. Литвин, Ю. І. Першина // Таврічний вісник інформатики та математики. – Сімферополь, 2008. – № 2. – С. 18-24.

Дата надходження статті: 05.05.2009 року.

Дата прийняття статті до друку: 04.12.2009 року.

1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   28


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка