Зними методами



Скачати 95.33 Kb.
Дата конвертації01.05.2016
Розмір95.33 Kb.
Кучевський М.І. Виведення формули коренів квадратного рівняння різними методами. (Урок конференція.) //Математика в школах України.-2007- №4.
Тема : Виведення формули коренів квадратного рівняння методом Н. Тартальї, методом М.В. Остроградського та побудова коренів квадратного рівняння за допомогою циркуля.
Мета : розширити зміст навчального матеріалу , розвивати творчі здібності і вміння самостійно здобувати знання , активізувати пізнавальну діяльність , формувати навички колективної діяльності.

Тип уроку : навчальна конференція.

Обладнання : таблиці , портрети математиків, проектор .

Хід уроку

Вступне слово вчителя про історію квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вміли розв'язувати біля 2000 років до н.е. у Вавилоні, по правилах, які по суті співпадають із сучасними. Проте з клинописних текстів невідомо, як вони дійшли до цих правил , до того ж вавілоняни не знали від'ємних чисел.

Вміли розв'язувати квадратні рівняння і в древній Індії, індійський учений Брахмагупта дав загальне правило розв'язування рівнянь ах2 + вх = с

Вмів розв'язувати квадратні рівняння у 18 столітті і середньоазійський математик ал-Хорезмі. Трактат ал–Хорезмі це перша книга , що дійшла до наших часів , в якій дано формули розв'язків квадратних рівнянь.

Є задачі , що призводять до квадратних рівнянь і у знаменитій "Арифметиці" грецького математика Діофанта.

Формули розв'язків квадратних рівнянь у Європі вперше були надруковані у 1202 році в книзі італійського математика Л. Фібоначчі "Книга абака".

Проте загальне правило розв'язання квадратних рівнянь зведеного до вигляду ах2+ вх+с=0 при всіх можливих комбінаціях знаків було сформульовано в Європі М. Штіфелем у 1544 році.

Виведення коренів квадратного рівняння загального вигляду є і у Вієта, але він визнавав тільки додатні числа. Тільки у XVII столітті завдяки працям Декарта , Ньютона, Жирара розв'язування квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Після вступного слова вчителя до роботи приступають доповідачі від груп.
1 доповідач

Метод Н.Тартальї виведення формули коренів квадратного рівняння

Н.Тарталья

Д.Кардано

За допомогою кодоскопа проектується доведення , а доповідач пояснює хід доведення.

Цей метод винайшов Н.Тарталья , коли готувався до диспуту з Фіоре . Основна ідея методу у виборі підстановки

,

Нехай тоді



;

;

;

, ,

Якщо , то розв’язків немає

Якщо , то

Отже , , або


2 доповідач. Історія життя Ніколо Тартальї.
Справжнє прізвище вченого не Тарталья , а Ніколо Фонтана . У 1512 році у місто Брешія , де він проживав увірвалися французькі загарбники, які нещадно грабували і вбивали мирних жителів. Маленький Ніколо був знайдений поруч з убитим батьком . меч французького солдата зачепив і його , розсікши йому лице і язик . Матері вдалося врятувати життя сина , але вільно говорити він уже не міг. Мова його була дуже нечіткою , тому він одержав прізвисько Тарталья , що італійською означає заїка. Не дивлячись на важкі матеріальні умови обдарований хлопчик вперто займався математикою. Нерідко , коли в нього не вистачало грошей на папір , він писав свої обчислення на стінах чи кам'яних плитах , чим викликав насмішки і глузування у міщан. Проте скоро насмішки і глузування змінилися здивуванням та захопленням - Тарталья все частіше і частіше ставав переможцем математичних турнірів, причому перемагав не тільки однолітків , а й значно старших і досвідченіших математиків. Поступово він став першокласним вченим і вже у 1535 році займав кафедру математики у Веронському університеті.

В той час в Італії широко практикувались математичні поєдинки ; на багатолюдних зборах противники пропонували один одному задачі. Перемагав той, хто розв'язував більше задач. Переможець одержував не тільки славу і грошову премію , але й можливість зайняти університетську кафедру . Змагання відбувалися в місті Болонья , яке славилось своїм університетом. На цих змаганнях І місце займала алгебра , яку називали "Великим мистецтвом", тому для учасників важливо було мати формули невідомі для супротивника.

На початку XVI століття професор Болонського університету Спіціон дель Ферро знайшов формулу для коренів рівняння . Цей розв'язок він тримав у таємниці . І тільки перед смертю повідомив його своєму учневі Фіоре, який вирішив скористатися ним і викликав на поєдинок Тарталью. Одержавши виклик Тарталья зрозумів , що Фіоре знає формулу для коренів рівняння .Тому готуючись до диспуту , він доклав великих зусиль, щоб розв'язати рівняння загального виду

Працюючи день і ніч він розв'язав цю проблему . Основна ідея була у підстановці .

Диспут відбувся 20 лютого 1535 року Тарталья за 2 години розв'язав усі 30 задач, запропоновані противником , в той час , як Фіоре не розв'язав жодної задачі із запропонованих Тартальєю, і признав себе переможцем. Після диспуту Тарталья став знаменитим у всій Італії, але він продовжував тримати в секреті знайдену формулу. Слава про Тарталью докотилась і до другого математика Д. Кардано, який шукав , але не міг знайти формулу коренів кубічного рівняння. У 1539 році він звернувся до Тартальї , щоб той повідомив йому формулу. Після того як Кардано дав "священну клятву", Тарталья відкрив свій секрет.

Яке ж було невдоволення Тартальї , коли у 1545 році він побачив у книзі Д. Кардано «Велике мистецтво» свій метод розв'язування кубічного рівняння. Тарталья писав : "У мене віроломно украли найкращу прикрасу моєї власної праці по алгебрі". Відбулася гостра довга полеміка між обома математиками, але формула і понині називається формулою Кардано. Ось вона :




М.В. Остроградський

3 доповідач



Метод М.В.Остроградського виведення формули коренів квадратного рівняння

Доведення проектується за допомогою оптичного електронного проектора .

Цей оригінальний метод є у неопублікованому рукописі видатного математика.

Нехай дано рівняння , і припустимо , що воно має дійсний корінь :, тоді . Віднявши почленно рівності одержимо ,

або ;

тому або



або

Значить , якщо рівняння має один корінь , то існує і другий корінь .

Тому

Одержали формулу розкладання квадратного тричлена на множники .

Розкривши дужки у правій частині одержимо .

Прирівнявши відповідні коефіцієнти , одержимо формули Вієта



; .

Використавши ці формули , знайдемо значення .

Піднесемо обидві рівності до квадрата і до результату додамо рівність помножену на -4.

Одержимо



, або

.

Якщо , то .

Якщо , то .

Розв’язавши систему



при .

Одержимо :



; або
; .

Тобто рівняння має два корені : .

Використавши метод Остроградського , ми не тільки вивели формулу коренів , але й довели теорему Вієта і формулу розкладання квадратного тричлена на множники .

4 доповідач



Світоч української математики

М.В. Остроградський народився в с. Пашенне Кобеляцького повіту

( нині Козельщанський район ) Полтавської області в сім'ї поміщика – дворянина. Математична обдарованість хлопця виявилася в ранньому дитинстві : речі . що його оточували, він намагався вивчати насамперед з математичних характеристик. Його молодший брат згадував: «Він до того любив все вимірювати, що коли батько й мати йшли куди-небудь з ним , то старались , щоб Мишко не помітив млина чи колодязя . Якщо він тільки помічав те чи інше , він з криком і сльозами просив зупинитися. У нього в кишені був постійно шнурок з камінчиком на кінці. Михайло опускав його в колодязь і , витягши звідти , протягував шнурок на землі та розраховував глибину колодязя». Коли Михайлові виповнилося 9 років, батько віддав його в пансіон при Полтавській гімназії, який мав назву «Будинок для виховання бідних дворян». У 1817 році Остроградського було зараховано студентом фізико – математичного факультету Харківського університету. Остроградському , який був студентом - відмінником, було відмовлено у видачі диплома після закінчення факультету тільки через те , що він відмовився слухати лекції з богослов'я. Бажаючи продовжити заняття математикою , він вимушений з 1822 року виїхати у Париж , де був зарахований студентом Сорбонни. Тут Остроградський слухав лекції видатних математиків того часу : Коші , Фур'є, Ампера , Лапласа .Скоро Остроградський звернув на себе увагу своїми успіхами. У 1826 році він представив паризькій академії наукову роботу "Про поширення хвиль у циліндричному басейні", де розв'язав задачу , на яку оголосила конкурс Паризька академія наук. Після шестирічного навчання Остроградський повернувся до Петербурга, де наукові кола зустріли молодого вченого з великою радістю. У 1830 році він став членом Петербурзької академії наук.

Наукові праці створили Остроградському широку славу. Його ім'я стало широко відомим і за кордоном. Паризька академія наук обрала його своїм почесним членом – кореспондентом, він був обраний членом Туринської, Римської та Американської академій .

За свою сорокарічну діяльність Остроградський написав понад 50 праць з різних галузей математики, механіки , математичної фізики. Особливу увагу Михайло Васильович приділяв роботам , які могли бути використані у практичній діяльності. Так , наприклад , щоб полегшити роботу по перевірці товарів , які поставляються в армію,

М.В. Остроградський зайнявся математичними дослідженнями, присвяченими статистичним методам. На засіданнях академії він прочитав 86 доповідей.

У своїй педагогічній діяльності був провідником прогресивних ідей у вихованні та навчанні молоді. Він написав 10 підручників, з яких 5 - не були надруковані . Михайло Васильович був палким патріотом України : любив свій край, свій народ, українську культуру. Кожного року він приїжджав у Пашенну. Його улюбленим письменником був Т.Г.Шевченко, значну частину його творів Остроградський знав напам'ять. У своєму щоденнику Т.Г. Шевченко писав : «Великий математик прийняв мене в свої сердечні обійми, як земляка, як близького друга після довгої розлуки. Спасибі йому» .

Помер Михайло Васильович 1 січня 1862 року у Полтаві і був похований у родинному склепі у рідному селі.

На Полтавщині шанують пам'ять славетного математика . Його ім'я носять: вулиця у Полтаві , на якій знаходиться педагогічний університет, та обласний інститут післядипломної освіти педагогічних працівників. Створено музеї у Полтавському державному педагогічному університеті імені В.Г. Короленка та Хорішківській ЗОШ І – ІІІ ступенів Козельщанського району , впорядковано могилу вченого у селі Пашенному .

Щорічно проводяться Міжнародні читання пам'яті М.В.Остроградського, математичні змагання школярів імені видатного математика. Урочисто і широко відзначалось і 200-річчя з дня його народження .


5 доповідач

Розв’язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля

Ще древні греки вміли розв’язувати квадратні рівняння за допомогою циркуля і лінійки . Пропоную удосконалений грецький метод з використанням системи координат , винайденої Декартом . У системі координат відмічаємо точки А(0;1) і В(), де a,b,c коефіцієнти квадратного рівняння , .

На діаметрі АВ будуємо коло , яке перетинає вісь ОХ в точках , що будуть коренями х1 і х2 даного рівняння .

А
х1

х2

В

x



y

1

Якщо коло не перетинає вісь—коренів немає , а якщо дотикається один корінь.



Доведемо це твердження . Знайдемо координати центра : О або О .

Складемо рівняння кола :



,

.

Коло перетне вісь ОХ , якщо y=0 , тому









Отже , дійсно точки перетину кола і осі ОХ є коренями квадратного рівняння.




Назва команди

1

2

3

4

5

балів

1



















2



















3



















4



















5


















Після заповнення таблиці оцінювання вчитель підводить підсумки конференції, відзначає кращих учасників.


Список використаної літератури:

  1. Галай І.Я. Життя і діяльність видатних математиків. – К., Радянська школа, 1967.

  2. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII класс. – М., Просвещение, 1982.

  3. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М., Педагогика, 1985.

  4. Kleine enzyklopadie. Mathematik. – VEB, Leipzic, 1965.


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка