Завдання до контрольних робіт з дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика»



Сторінка1/9
Дата конвертації26.04.2016
Розмір1.08 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
ДОНЕЦЬКИЙ ІНСТИТУТ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ
УКРАЇНСЬКОЇ ДЕРЖАВНОЇ АКАДЕМІЇ

ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ


Факультет «Інфраструктура залізничного транспорту»
Кафедра вищої математики

Завдання до контрольних робіт

з дисципліни

«Теорія ймовірностей і математична статистика»

Для студентів денного відділення

спеціальності

«Автоматика та автоматизація на транспорті»

Донецьк 2008

Волченко ЮМ. Завдання до контрольних робіт з дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика». Для студентів денного відділення спеціальності АТЗ. – Донецьк : ДонІЗТ, 2008. – 82 с.

Цей методичний документ містить завдання до контрольних робіт студентів денного відділення спеціальності АТЗ з дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика». Завдання використовуються для проведення двох модульних контрольних робіт з теорії ймовірностей. Кількості задач достатньо для їх використання в двох паралельних навчальних групах (спеціалізацій АТ і Т). Джерелами цієї збірки були відомі збірники задач, наведені в списку літератури.

Методичні матеріали розглянуті й рекомендовані до друку на засіданні кафедри вищої математики 1 вересня 2007 р., протокол № 1. Рекомендовано до друку на засіданні методичної комісії факультету «Інфраструктура залізничного транспорту» від 4 вересня 2007 р., протокол № 2.


Рецензенти:


проф., д.ф.-м.н. Ігнатьєв О.О.

доц., к.е.н. Кремліна А.М.



Зміст



1. Випадкові події. Дії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2. Випадкові події. Моделювання . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3. Елементарний підрахунок імовірностей . . . . . . . . . . .

14

4. Теореми додавання і множення . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5. Формули повної ймовірності і Байєса . . . . . . . . . . . .

25

6. Дискретні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . .

31

7. Неперервні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . .

36

8. Випадкові вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

9. Функції випадкових величин . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

10. Числові характеристики дискретних в.в. . . . . . . . . . .

56

11. Числові характеристики неперервних в.в. . . . . . . . . . .

61

12. Граничні теореми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

13. Типові дискретні розподіли . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

14. Типові неперервні розподіли . . . . . . . . . . . . . . . .

76

15. Література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81


1. Випадкові події. Дії

Доведіть рівності:


1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .
За яких умов справедливі подальші рівності?
7. .

8. .

9. .

10. .
Спростіть вирази:
11. .

12. .

13. .

14. .
Перевірте рівності:
15. .

16. .

17. .
Встановіть, які з формул правильні:
18. .

19. .

20. .

21.

22.

23. .

Спростіть вирази:


24.

25.

26.

27.
Доведіть тотожність:
28. .

29. .

30. .

2.

Зміст 5

1. Випадкові події. Дії 6

3. Елементарний підрахунок імовірностей 17

4. Теореми додавання і множення 21

5. Формули повної ймовірності і Байєса 29

6. Дискретні випадкові величини 35

7. Неперервні випадкові величини 40

8. Випадкові вектори 47

9. Функції випадкових величин 55

Числові характеристики дискретних в.в. 61

Числові характеристики неперервних в.в. 66

Граничні теореми 73

13. Типові дискретні розподіли 77

14. Типові неперервні розподіли 81

Література 86





  1. Експеримент полягає в тому, що кидають дві монети, мідну й срібну. Розглядають такі події:

«Герб випав на мідній монеті»,

«Цифра випала на мідній монеті»,

«Герб випав на срібній монеті»,

«Цифра випала на срібній монеті»,

«Випав хоча б один герб»,

«Випала хоча б одна цифра»,

«Випав один герб і одна цифра»,

«Не випало жодного герба»,

«Випали два герби».

Яким подіям з наведеного списку дорівнюють такі події:

а) , б), в) , е), д), е),

ж)?




  1. По мішені робиться три постріли. Розглядають події, що полягають у влучанні при k-му пострілі,k = 1,2,3. Користуючись операціями над подіями та , записати події:

A = «Всі три влучання»,

B = «Всі три промахи»,

C = «Хоча б одне влучання»,

K = «Хоча б один промах»,

M = «Не менше двох влучань»,

H = «Не більш одного влучання»,

X = «Влучання в мішень не раніше третього пострілу».


  1. В полі спостереження мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостереження кожна з них може як розділитися, так і не розділитися. Розглядаються події:

A = «Розділилася одна клітина»,

B = «Розділилася хоча б одна клітина»,

C = «Розділилося не менше двох клітин»,

H = «Розділилося дві клітини»,

M = «Розділилося три клітини»,

X = «Розділилися всі чотири клітини».

В чому полягають події: , , , , , ?




  1. Запишіть протилежні події для подій:

A = «Випадіння двох гербів при киданні двох монет»,

B = «Поява білої кулі» (випробування полягає у вийманні одної кулі з урни, в якій знаходяться білі, чорні й червоні кулі),

C = «Три влучання при трьох пострілах»,

M = «Не більше двох влучань при п’яти пострілах»,

H = «Хоча б одне влучання»,

K = «Виграш першого гравця у грі в шахи».


  1. На малюнку зображена електрична схема.

Вимикачі зображені колами, в яких вказаний номер вимикача. Записати через подію ”Включено вимикач з номером k” такі події: A = «Струм іде» та «Струм не йде».




  1. Розв’язати попередню задачу для електричної схеми:

1


  1. Прилад складається з двох блоків. Перший блок складається з двох однотипових деталей і працює при справності хоча б однієї з них. Другий блок складається з трьох однотипових деталей і працює при справності хоча б двох з них. Весь прилад працює, якщо працюють обидва блоки. Виразити через події «Справна k-та деталь першого блоку» (k = 1, 2), «Справна n-а деталь другого блоку» (n = 1,2,3) та протилежні їм такі події:

A = «Працює перший блок»,

B = «Перший блок не працює»,

C = «Працює другий блок»,

M = «Другий блок не працює»,

H = «Прилад працює»,

K = «Прилад не працює»,

E = «Прилад не працює, але для того, щоб його полагодити, досить замінити одну деталь».


  1. Прилад складається з двох блоків. Перший блок складається з чотирьох однакових деталей і працює при справності хоча б двох з них. Другий блок складається з п’яти однакових деталей і працює при справності хоча б трьох з них. Весь прилад працює, якщо працюють обидва блоки. Виразити через події «Справна k-та деталь першого блоку» (k = 1, 2), «Справна n-а деталь другого блоку» (n = 1,2,3) та протилежні їм такі події:

A = «Працює перший блок»,

B = «Перший блок не працює»,

C = «Працює другий блок»,

M = «Другий блок не працює»,

H = «Прилад працює»,

K = «Прилад не працює»,

E = «Прилад не працює, але для того, щоб його полагодити, досить замінити дві деталі».


  1. Маємо події: A = «Взята навмання деталь виявилася першого ґатунку», B = «Взята навмання деталь виявилася другого ґатунку», C = «Взята навмання деталь виявилася третього ґатунку». Що являють собою події: а) ; б) ; в) ; г) ?




  1. Нехай A, B, C – три довільні події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що з A, B, C

1) настала тільки A,

2) настали A і B, а C не настала,

3) реалізувались всі три події,

4) настала принаймні одна подія,

5) жодна подія не настала.


  1. Мішень складається з десяти кругів, які обмежені концентричними колами з радіусами (k = 1,2,…,10), причому . Подія «Влучання в коло радіуса ». Що означають події:

,

?


  1. Події: A = «Хоча б один з трьох перевірених приладів бракований», B = «Всі прилади доброякісні».

Що означають події а) , б) ?


  1. Події A, B, C означають, що взято хоча б по одній книзі з трьох різних зібрань творів, кожне з яких налічує принаймні три томи. Події і означають відповідно, що з першого зібрання творів взяті k, а з другого – n томів. Що означають події: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?




  1. З таблиці випадкових чисел навмання взяте одне число. Подія A = «Вибране число ділиться на 5»; подія B = «Дане число закінчується нулем». Що означають події и ?




  1. Подія A = «Хоча б один виріб з чотирьох наявних виробів бракований», подія B = «Бракованих виробів серед них не менше двох». Що означають протилежні події і ?




  1. Машинно-котельна установка складається з двох котлів і одної машини. Подія A = «Справна машина», подія = = «Справний k-ий котел (k = 1,2). Подія C означає робото-здатність машинно-котельної установки, яка буде в тому випадку, якщо справна машина і хоча б один котел. Виразити події C і через A і .




  1. Нехай A, B, C – три будь-які події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що з A, B, C

1) настала тільки A;

2) настали A і B, а C не настала;

3) настали всі три події;

4) настала принаймні одна подія;

5) настала одна і тільки одна подія;

6) жодна подія не настала;



7) настало не більше двох подій.


  1. Прилад складається з двох блоків першого типу та трьох блоків другого типу. Події: = «Справний k-й блок першого типу» (k = 1,2), «Справний j-й блок другого типу» (j = 1,2,3). Прилад справний, якщо справний хоча б один блок першого типу і хоча б один блок з непарним номером другого типу. Виразити подію C, що означає справність приладу, через та .




  1. З ящика, який містить 10 деталей, з яких три браковані, навмання послідовно і без вертання вилучаються по одній деталі до появи бракованої, після чого експеримент припиняється. Позначимо результат i-го випробування = «Бракована деталь з’явиться в i-му випробуванні». Розглянемо подію «Прийдеться проводити третє вилучення деталі». Сконструювати елементарні результати даного випробування за допомогою алгебраїчних операцій над результатами . Записати подію A через елементарні результати та спростити запис за допомогою алгебраїчних перетворень.




  1. Електронна схема має три транзистори, чотири конденсатори і п’ять резисторів. Події: = «Вихід з ладу k-го транзистора», k = 1,2,3; «Вихід з ладу i-го конденсатора», i = = 1,2,3,4; «Вихід з ладу j-го резистора», j = 1,2,3,4,5. Електронна схема вважається справною, якщо одночасно справні всі транзистори, не менше двох конденсаторів і хоча б один резистор. Записати в алгебрі подій подію A = «Схема несправна».




  1. Два баскетболісти по черзі кидають м’яч в корзину до першого влучення. Виграє той, хто переший закине м’яч в корзину. Події: “Перший баскетболіст влучає при k-му кидку”, «Другий баскетболіст влучає при своєму k-му кидку», A = «Виграє перший баскетболіст», B = «Виграє другий баскетболіст». Перший баскетболіст кидає першим. Визначити склад множини елементарних подій та записати події A і B в алгебрі подій.




  1. Нехай A, B, C – три події, за якими спостерігають в даному експерименті. Виразити в алгебрі подій такі події:«З трьох подій A, B, C відбудеться тільки одна», «З трьох подій A, B, C відбудеться хоча б одна», «З трьох подій A, B, C відбудеться дві», «З трьох подій A, B, C відбудеться не менше двох», «З трьох подій A, B, C не відбудеться жодної», = «З трьох подій A, B, C відбудеться хоча б дві», «З трьох подій A, B, C не відбудеться хоча б одна».




  1. Гральна кістка кидається двічі. Результат, який спостерігається – пара чисел, відповідних числам очок, які випали в перший і другий раз. Події: A = «Обидва рази випало число очок кратне трьом», B = «Жодного разу не випало число шість», C = «Обидва рази випало число очок, більше трьох», H = «Обидва рази випало однакове число очок». Побудувати множину елементарних подій та підмножин, відповідних вказаним подіям A, B, C, H.




  1. Монета підкидається три рази. Результат, який спостерігається – поява герба або цифри на верхній стороні монети. Події: A = «Герб випав тільки раз», B = «Жодного разу не випала цифра», C = «Випало більше гербів, ніж цифр», H = = «Герб випав не менше, ніж два рази підряд». Побудувати простір елементарних подій та підмножини, які відповідають подіям A, B, C, H.




  1. Монета кидається до першої появи герба. Результат, який спостерігається – загальна кількість кидань. Події: A = «Герб випав при третьому киданні», B = «Герб випав не раніш, ніж при третьому киданні», Побудувати простір елементарних подій та підмножини, відповідні подіям A, B.




  1. Зроблено три постріли з гармати по цілі. Подія «Влучання при k-му пострілі» (k = 1,2,3). а) З’ясувати склад простору елементарних подій, виразивши кожну елементарну подію через подію . б) Записати в алгебрі подій такі події: A = «Тільки одне влучання», B = «Хоча б одне влучання», C = «Хоча б один промах», E = «Не менше двох влучань», H = «Влучання не раніш, ніж при третьому пострілі».




  1. Спостерігається прибуття п’яти потягів. Події: «Спізнився k-ий потяг. Виразити через події такі події: A =­ = «Один з перших трьох потягів спізнився, а решта не спізнились», B = «Не менше двох потягів прийшли вчасно», C = = «Потяги з непарними номерами спізнилися».




  1. Система аварійної сигналізації замінюється після першої ж відмови. Подія A = «Система при спрацюванні не відмовить». Виразити за допомогою подій A та такі випадкові події: B = «Система відмовить при п’ятому спрацюванні», C = «Система ніколи не відмовить», E = «Система відмовить при першому ж спрацюванні», H = «Система відмовить не раніш, ніж при третьому спрацюванні».




  1. За розкладом руху поїздів один потяг прибуває на станцію в 14.00, а інший в 14.15. Подія A(x,y) = «Перший потяг прибуде на станцію в момент часу x, а другий – в момент часу y». Виразити за допомогою подій A(x,y) та такі випадкові події: B = «Перший потяг прийде раніше другого», C = = «Обидва потяги прибудуть на станцію одночасно», E = = «Перший потяг спізниться на 10 хвилин», H = «Інтервал між прибуттям потягів складе 15 хвилин». Розв’язати задачу геометрично.




  1. Проводиться футбольний матч між двома командами. Події «Перша команда заб’є k м’ячів» (k = 0,1,…), = «Друга команда заб’є n м’ячів» (n = 0,1,…). Виразити через події та такі випадкові події: A = «Команди зіграють унічию», B = «Перша команда виграє», C = «Перша команда виграє з великим рахунком» (різниця забитих та пропущених м’ячів > 4), E = «В матчі буде забито не більше трьох м’ячів», H = «Жодній з команд не вдасться забити більше трьох м’ячів».



  1   2   3   4   5   6   7   8   9


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка