Застосування інтеграла для обчислення площ геометричних фігур



Скачати 120.19 Kb.
Дата конвертації30.04.2016
Розмір120.19 Kb.
Тема уроку: Застосування інтеграла для обчислення площ геометричних фігур.
Мета уроку: Систематизувати знання з теми „Первісна та інтеграл”, ввести поняття криволінійної трапеції та розглянути різні види задач, розвивати кмітливість, зацікавленість, активність на протязі усього уроку; виховувати в учнів творче оволодіння математичними поняттями, їх вміле використання у будь – якій галузі.

Обладнання: тести,

картки із завданнями.

картки з дидактичною грою.
...” Ви знаєте, Зося, переконував Остап Бендер Зосю Синицьку, - на кожну людину, навіть партійну, тисне атмосферний стовп вагою 214 кіло.”

Остап з його незнанням точних наук значно занизив цифру. Названа ним величина була б справедлива для значно більшої висоти, адже вам відомо з курсу фізики від чого залежить тиск повітря. За допомогою математики можна знайти точний результат, використовуючи інтегрування яке дозволяє розрахувати сумарний підсумок несталих величин. Операція обернена до диференціювання - інтегрування дозволяє визначити, як залежить від часу заряд, якщо у кожний момент відоме значення струму; як збільшується з температурою кількість тепла в тілі, якщо для кожної температури відома його теплоємкість. Сьогодні ми ознайомимось із ще одним аспектом використання інтеграла – обчисленням площі.


Відкриємо зошити і запишемо тему уроку.
Уявіть себе за кермом автомобіля, який рухається зі сталою швидкістю 100 км/год, а лічильник пройденого шляху заклеєний непрозорим папером.

Чи можна що-небудь сказати про показник лічильника?

Побудуємо графік залежності швидкості від часу. V (t) = V0 = const. Якщо S(t) – шлях, пройдений автомобілем починаючи з деякого моменту часу t0 то

відстань, яку він пройде за проміжок часу від tп до tк, дорівнює S(tк) - S(tп) = V0(tк - tп).

Зверніть увагу, що ця величина дорівнює площі прямокутника, обмеженого віссю абсцис, графіком V(t) = V0 та прямими t = tп та t = tк.

А що ж робити , коли швидкість змінна?

Виділимо на інтервалі часу від tп до tк настільки малий проміжок ∆t, що швидкість автомобіля не встигне помітно змінитися протягом цього ∆t. Середня швидкість на проміжку ∆t несуттєво відрізняється від миттєвої для довільного t із заданого проміжка. Тому відстань пройдена автомобілем за час ∆t приблизно рівна V(t) ∆t.

Тепер, якщо поділити відрізок на багато проміжків ∆t, а потім додати пройдені для них відстані ∆ S = V(t) ∆t, це дозволяє досить точно порахувати S(tк) - S(tп). Чим вужчий проміжок ∆t, тим ближче до дійсного значення S(tк) - S(tп) буде знайдена сума. Коли ∆t→0 фігура прямує до криволінійної трапеції під графіком функції, а її площа – до площі трапеції.

Якщо ж зверху фігура буде обмежена не горизонтальною прямою, а деякою функцією f, знизу віссю абсцис, а з боків прямими х = а та х = в, то надалі таку фігуру називатимемо криволінійною трапецією.

Теорема. Якщо f – неперервна та невід’ємна на проміжку функція, S – площа відповідної криволінійної трапеції. То якщо F первісна для функції f на , то S = F (в) - F(а) .

Існує інший підхід до обчислення площі криволінійної трапеції. Ми його вже сьогодні розглядали на прикладі змінної швидкості. Розіб’ємо проміжок на n відрізків однакової довжини. Тоді ∆х = , на кожному з відрізків ∆х побудуємо прямокутник висотою f(хк-1). Площа цього прямокутника обчислюється

Sn = f(хк-1).В силу непевності функції об’єднання побудованих прямокутників при великому n майже співпадає з криволінійною трапецією. Тому

S = lim Σn (а,в), тобто площа дорівнює сумі нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Цю границю називають інтегралом та позначають Вперше термін „ інтеграл” використав учень Лейбніца



Я. Бернуллі, а систематичне дослідження інтегралів було завершене Ейлером.

Ґрунтуючись цими фактами Й. Кеплер у своїх творах ”Нова астрономія”(1609) та „Стереометрія винних бочок”(1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури, обмеженої еліпсом).Продовжив дослідження у цій сфері Б Кавальєрі(1598-1647).

Існуванням такого символу ми завдячуємо Лєйбніцу, хоча школа Ньютона досягла більших результатів.

Одним з основних результатів математичного аналізу, що має велике застосування, є наступна теорема, в геометричній формі сформульована англійським математиком Барроу (1630 - 1677), а в кінцевому вигляді незалежно один від одного отримана Ньютоном (1643 - 1727) та Лейбніцом (1646 - 1716) - теорема Ньютона – Лейбніца.

S = = F (в) - F(а)

Формула, що характеризує геометричний зміст інтеграла є справедливою як „зліва направо” так і „справа наліво.” Тобто

До сьогодні лише на уроках геометрії ви займались обчисленням площ плоских фігур, там же і розглядали основні факти. Такі як:



  1. Площа будь-якої фігури є величина невід’ємна.

  2. Рівні фігури мають рівні площі.

  3. Площа фігури рівна сумі площ її частин.

  4. Площа квадрата зі стороною 1 рівна 1.

Щоб ми могли приступити до розв’язування задач потрібно пригадати наступне


Теоретичне опитування.

  1. Які функції ви вивчали у школі.

  2. Форми графіків цих функцій.

  3. Правила обчислення первісних.


Усні вправи
Знайти одну з первісних функції

( завдання записуються заздалегідь на дошці)



  1. f(х) = х2 ( )

  2. f(х) = sin2х (0,5 cos2х)

  3. f(х) = 2х5 ()

  4. f(х) = 3cos х (-3 sinх)

  5. f(х) = ()

  6. f(х) = 3х + 5 (1,5х2 + 5х)

  7. f(х) = х0,3 ()

Практична робота.

Розв’язування тестів.



Тест

І варіант

  1. Одна з первісних функції У = 3Х2 має вигляд

А) Б) Х3 В) Г)

2. Для функції У = 2sinХ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(; 1)

А)2 cosХ Б) 2 cosХ +2 В)-2 cosХ Г) 2 cosХ - 3

3. Як називають криву, що є графіком функції У = 5Х2

А)парабола Б)пряма В)гіпербола Г)коло

4. Обчислити інтеграл

А)-3 Б) 2 В) -2 Г)3

5. Знайти площу фігури, обмеженої графіком У = 2 -Х та осями координат

А) 4 Б) 2 В) 8 Г) 16


Тест

ІІ варіант


  1. Одна з первісних функції У = 2Х має вигляд

А)2Х2 Б) В) Г)Х2

2. Для функції У = 2cosХ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(;1)

А) 2sinХ + 2 Б) 2sinХ - 2 В) sinХ + 2 Г) sinХ - 2

3. Як називають криву, що є графіком функції У =

А)парабола Б)пряма В)гіпербола Г)коло

Обчислити інтеграл

А) Б) 4 В) Г) -4

5. Знайти площу фігури, обмеженої графіком У = Х + 2 та осями координат

А) 4 Б) 8 В) 16 Г) 2


Аналіз тестів
Відповіді
І варіант
1.Б 2.А 3.А 4.Г 5.Б
ІІ варіант

1.Г 2.А 3.В 4. В 5.Г
Використовуючи визначений інтеграл можна знайти площі наступних фігур. Всі вони зображені на картках

Проаналізуйте для себе малюнки, а детальніше розібратись я вам допоможу у процесі розв’язування задач.



Розв’язування вправ

Тренувальні вправи



Задача 1. ( з коментуванням на дошці)
Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х2 +1, віссю абсцис та прямими х= -1 та х=3.

Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити

використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, обчислимо.

S = dх = ()│3-1 = (кв. Од.)


Задача 2. ( самостійно у зошитах з подальшою перевіркою)

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = cos2х, у = 0, х = та х =

Варто звернути увагу учнів на те, що малюнок у таких завданнях не є догмою.

S = (кв. од.)

Щоб полегшити роботу пригадаємо властивості функцій, такі як парність, періодичність. Прошу відповісти на питання:


  1. Як відображається на графіку парність? Навести приклади.

  2. Як відображається на графіку період? Навести приклади.

Задача 3. ( з коментуванням на дошці).

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у =, у = та прямою

у = 1


  1. Побудуємо фігуру, площу якої шукатимемо

  2. Знайдемо межі інтегрування.


=1 = 1

х = 0 х= 6 =


х = 3

  1. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца обчислимо.

S = + = (кв. од.)


Задача 4 та задача 5 виконуються групами

Задача 4. Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою у = 2х – х2, дотичною, проведеною до даної параболи в точці з абсцисою х0 = 2 та віссю ординат.

Розв’язання:

Варто пригадати рівняння дотичної.

1. Рівняння дотичної: у= -2х+4

2. Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити.

S = = 20 = (кв.од.)

Відповідь:



Задача 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у= та у= -8 +

Розв’язання:

Варто пригадати перетворення графіків функцій з модулем.

1.Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити.

2. Яку з властивостей функцій використаємо для спрощення обчислень?

Графік функції симетричний відносно осі

ординат, тому можна знайти площу однієї частини та помножити на 2.

3. Знайдемо межі інтегрування: х=1, х=7.

S = = 24,5 - 7ln8 (кв. од.)

Відповідь: 24,5 - 7ln8 (кв. од.)

Сьогоднішній урок я розпочала із задач фізичних, а зараз хочу вам запропонувати задачу практичну.



Задача 6. Поперечний переріз греблі має форму криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 0,25х2 та у = 4. Знайти площу поперечного перерізу.

Розв’язання:

1.Задача досить проста. Змоделюємо її. Зобразимо греблю у вигляді фігури, площу якої потрібно знайти.

2.Знайдемо межі інтегрування. 0,25х2=4

х= 4,-4

S ==(кв. од.)



Зробити висновок до задачі.

Варто знати, що операція інтегрування менш вибаглива, ніж диференціювання. Вона застосовується до всіх неперервних функцій і навіть до тих розривних, які мають обмежений розрив у обмеженому числі точок.

Однак, якщо диференціювання елементарних функцій завжди призводить знову ж таки до елементарних, то для операції, оберненої до диференціювання, тобто інтегрування – такийрезультат рідкість.

Тут можна провести аналогію з алгебри: підносячи до квадрата ціле число, завжди отримуємо ціле, чого не можна сказати про обернену операцію – обчислення квадратного кореня.


Для перевірки засвоєння знань виконаємо завдання у формі гри.

Уважно прочитайте умову на картках. Вам потрібно обчислити площі запропонованих фігур та відповідні букви вписати у рядок відповідей. Будемо працювати у міні групах.(Іван Сірко)



Підсумок уроку:

  • Як на вашу думку: чи є практично виправданим вивчення даної теми у школі;

  • Що створює мотивацію до навчання математики.

На сьогоднішньому уроці ми не вирішували долі людей, не будували стратегічні плани. Але

Якщо маленька людина

у маленькому місті

сумлінно робить свою маленьку справу



    • Всесвіт стає кращим.



Домашнє завдання:

Задача 7. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = 4-х2 та у= - 2

Задача 8. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у= х –х2 та у=│х│+│х-1│

Тест

І варіант

  1. Одна з первісних функції У = 3Х2 має вигляд

А) Б) Х3 В) Г)
2. Для функції У = 2sinХ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(; 1)

А)2 cosХ Б) 2 cosХ +2 В)-2 cosХ Г) 2 cosХ - 3

3. Як називають криву, що є графіком функції

У = 5Х2

А)парабола Б)пряма В)гіпербола Г)коло

4. Обчислити інтеграл

А)-3 Б) 2 В) -2 Г)3
5. Знайти площу фігури, обмеженої графіком

У = 2 -Х та осями координат

А) 4 Б) 2 В) 8 Г) 16

ІІ варіант


  1. Одна з первісних функції У = 2Х має вигляд

А)2Х2 Б) В) Г)Х2

2. Для функції У = 2cosХ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(;1)

А) 2sinХ + 2 Б) 2sinХ - 2 В) sinХ + 2 Г) sinХ – 2
3. Як називають криву, що є графіком функції У =

А)парабола Б)пряма В)гіпербола Г)коло

4. Обчислити інтеграл

А) Б) 4 В) Г) -4


5. Знайти площу фігури, обмеженої графіком У = Х + 2 та осями координат

А) 4 Б) 8 В) 16 Г) 2



Завдання до уроку.

Задача 1.

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х2 +1, віссю абсцис та прямими х= - 1 та х=3.



Задача 2.

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = cos2х, у = 0, х = та х =



Задача 3.

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у =, у = та прямою

у = 1
Задача 4. Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою у = 2х – х2, дотичною, проведеною до даної параболи в точці з абсцисою х0 = 2 та віссю ординат.
Задача 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у= та у= -8 +

Задача 6. Поперечний переріз греблі має форму криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 0,25х2 та у = 4. Знайти площу поперечного перерізу.

Задача 7. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = 4-х2 та у= - 2
Задача 8. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у= х –х2 та

у=│х│+│х-1│


Знайди площу фігури, обмеженої графіками функцій та дізнайся ім’я гетьмана, який з 55 походів переміг лише у 3, проте став улюбленим серед козаків.


  1. У= х2, у=0, х=-1, х=2 А




  1. У= sinх, у=0, х= 0, х= Н




  1. У= , у=0, х=4, х= 9 Р




  1. У=, у=3, х=1, х=5 І




  1. У= х3, у=0, х=1, х=3 К

  2. У= соs х, у=0, х=, х= О




  1. У= х2, У= 4х - х2 В



  1. У= х2, у = 2 - х С


-------- -------- -------- -------- ------- --------- ------- ------- -------.

3-ln5 3 1 4,5 3-ln5 20 2

Пам’ятка для учнів.



Теорема. Якщо f – неперервна та невід’ємна на проміжку функція, S – площа відповідної криволінійної трапеції. То якщо F первісна для функції f на , то S = F (в) - F(а) .

Існує інший підхід до обчислення площі криволінійної трапеції. Ми його вже сьогодні розглядали на прикладі змінної швидкості. Розіб’ємо проміжок на n відрізків однакової довжини. Тоді ∆х = , на кожному з відрізків ∆х побудуємо прямокутник висотою f(хк-1). Площа цього прямокутника обчислюється

Sn = f(хк-1).В силу непевності функції об’єднання побудованих прямокутників при великому n майже співпадає з криволінійною трапецією. Тому

S = lim Σn (а,в), тобто площа дорівнює сумі нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Цю границю називають інтегралом та позначають



Вперше термін „ інтеграл” використав учень Лейбніца Я. Бернуллі, а систематичне дослідження інтегралів було завершене Ейлером.

Ґрунтуючись цими фактами Й. Кеплер у своїх творах ”Нова астрономія”(1609) та „Стереометрія винних бочок”(1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури, обмеженої еліпсом).Продовжив дослідження у цій сфері Б Кавальєрі(1598-1647).

Існуванням такого символу ми завдячуємо Лєйбніцу, хоча школа Ньютона досягла більших результатів.

Одним з основних результатів математичного аналізу, що має велике застосування, є наступна теорема, в геометричній формі сформульована англійським математиком Барроу (1630 - 1677), а в кінцевому вигляді незалежно один від одного отримана Ньютоном (1643 - 1727) та Лейбніцом (1646 - 1716) - теорема Ньютона – Лейбніца.

S = = F (в) - F(а)

Формула, що характеризує геометричний зміст інтеграла є справедливою як „зліва направо” так і „справа наліво.” Тобто


  • Щоб обчислити інтеграл, знаходять площу криволінійної трапеції;

  • Щоб знайти площу криволінійної трапеції, обчислюють інтеграл.

Операція інтегрування менш вибаглива, ніж диференціювання. Вона застосовується до всіх неперервних функцій і навіть до тих розривних, які мають обмежений розрив у обмеженому числі точок.



Однак, якщо диференціювання елементарних функцій завжди призводить знову ж таки до елементарних, то для операції, оберненої до диференціювання, тобто інтегрування – такий результат рідкість.

Тут можна провести аналогію з алгебри: підносячи до квадрату ціле число, завжди отримуємо ціле, чого не можна сказати про обернену операцію – обчислення квадратного кореня.


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка