Тема. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів Мета



Скачати 112.23 Kb.
Дата конвертації30.04.2016
Розмір112.23 Kb.
Тернопіль 2014


Козбур Галина Євгенівна

вчитель математики


Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів

для 8 класу





Тема. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів

Мета. Дати означення многочлена стандартного вигляду, розвинути в учнів уміння і навички застосовування ділення кутом, методом невизначених коефіцієнтів, схеми Горнера для знаходження неповної частки і остачі від ділення многочлена на многочлен, розвивати логічне мислення; виховувати математичну культуру.

Тип уроку: пояснення нового матеріалу.

Хід уроку

  1. Організація класу

  2. Актуалізація опорних занять

  • Що називають алгебраїчним виразом ?

(Вираз, що містить знаки дій +, -, , до раціонального степеня та символ знаходження модуля, називається алгебраїчним виразом).

  • Чи є відмінність між раціональним виразом і алгебраїчним ?

(Раціональний вираз, це алгебраїчний вираз, що не містить знаку дії добування кореня і взяття модуля із виразу зі змінною).

  • Який вираз називається трансцендентним ?

(Якщо у виразі є крім +, -, , знаки і символи інших функцій (піднесення до ірраціонального степеня, взяття синуса, косинуса від змінної), то такий вираз називають трансцендентним).

  • Які вирази називаються тотожно рівними?

(Два вирази називають тотожно рівними на деякій множині, якщо значення цих виразів рівні при всіх значеннях змінних із даної множини).

  • Як називають цю множину?

(Областю визначення або областю допустимих значень (ОДЗ)).

  • Що таке степінь многочлена?

(Найвищий із степенів одночленів у записі даного многочлена).

  • А що ж таке многочлен?

(Раціональний вираз, який не містить знаку дії ділення на вирази, в які входять змінні, називають цілим раціональним виразом або многочленом).

  1. Пояснення нового матеріалу

Повідомляється учням тема уроку і його мета.

Будь-який многочлен n-го степеня (n є Z+) від однієї змінної можна записати у вигляді



де аn, аn -1, … а0 –деякі дійсні числа (коефіцієнти многочлена), причому ; Коефіціцієнтиі називають відповідно його старшим коефіцієнтом і вільним членом. Якщо одночлени у многочлені впорядковані за спаданням степенів змінної, то таку форму запису многочлена називають канонічно і кажуть, що многочлен Р(х) є многочлен канонічного (стандартного) вигляду. Якщо многочлен n-го степеня, то можна позначити. Всякий многочлен нульового степеня можна записати у вигляді = і умова для нього повинна виконуватися так, що

Число 0 вважають многочленом і називають його нуль-многочленом.


  • А як ви гадаєте, який степінь цього многочлена?

(невизначений)

  • Як ви думаєте, коли два многочлени і

будуть тотожно рівними на множині R? (а=0; b=1; c=2; d=8)

Як відомо, многочлени можна додавати, віднімати, множити.



  • Що є результатом цих дій? (многочлен)

Розглянемо ділення многочленів.

Ділення буває з остачею, і ділення націло.



Означення: кажуть, що многочлен ділиться націло на тотожно не рівний многочлен Q (x), якщо існує такий многочлен S(x), що для будь-якого x Р(x)=Q(x)·S(x).

При діленні націло многочленів необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова є достатньою.



  • Чому? Наведіть приклад.

Многочлен x3 +1 не ділиться націло на многочлен x-1. Якби існував многочлен S (x) такий, що для будь-якого x R виконувалася рівність x3 + 1 = (x – 1)S( x ), то при x = 1 отримали б неправильну рівність 13 + 1 = 0. Якщо одне ціле не ділиться націло на інше, то можна розглядати ділення з остачею.

  • Що означає поділити число a на b з остачею ?

Наприклад, 149=7·21+2.

Теорема: Для будь-якого многочлена , який тотожно не дорівнює нулю, існує єдина пара многочленів щоб виконувалась рівність:

де степінь многочлена менший степеня ;



– ділене;

– дільник;

– неповна частка;

– степінь многочлена з остачею.

Якщо є нуль-многочленом, то кажуть, що многочлен ділиться націло на многочлен і записують .

Основними способами для знаходження неповної частки і остачі від ділення многочлена на многочлен є:


  1. ділення кутом;

  2. метод невизначених коефіцієнтів;

  3. схема Горнера.

  1. Ділення кутом:

Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійснювати за алгоритмом ділення «куточком», аналогічно тому, як це роблять при діленні чисел.

Приклад 1.

Поділити на

(пояснення вчителя)



_

_







  • Чи можна продовжувати ділити? (ні)

  • Чому? (Учні роблять висновок).

Отже,

Приклад 2.

Поділити Р(х):Q(х), якщо Р(х)=, Q(х)=

(учень біля дошки)



_

_









P(x)=Q(x)()+().



– остача. Степінь остачі менший від степеня дільника.

  1. Метод невизначених коефіцієнтів

Вчитель. Суть методу проілюструю на прикладі.

Наприклад: поділити Частку від ділення будемо шукати у вигляді многочлена 2-го степеня Остачею повинен бути многочлен, степінь якого менший від степеня дільника, тобто d. Невідомі коефіцієнти знайдемо з тотожності розкривши дужки в правій частині і згрупувавши коефіцієнти при однакових степенях змінної х отримаємо:





a=1; b=2; c=1; d=6.

−2c=4

Отже, .

Пропоную учням самим скласти алгоритм ділення многочленів методом невизначених коефіцієнтів.

Учні «ланцюжком» формулюють та записують алгоритмічний припис.



Запишемо алгоритм ділення многочленів методом невизначених коефіцієнтів:

  1. Записати многочлен-частку з відомим старим коефіцієнтом.

  2. Записати остачу (степінь менший від степеня дільника).

  3. Записати тотожну рівність.

  4. Звести подібні члени в правій частині рівності.

  5. Прирівняти коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частині рівності.

  6. Розв’язати систему.

  7. Записати частку.

  8. Записати остачу.

Приклад. ( Робота в парах).

Поділити методом невизначеих коефіцієнтів 2x3 - 5x + 3 на x – 1.

Відповідь: 2x3 - 5x + 3=(x – 1)(2x2 +2x – 3).


  • З якими труднощами ви зустрілись при розв’язанні цього прикладу?

У многочлені (діленому) відсутній одночлен із степенем 2. Який біля нього стоїть коефіцієнт? (0).

Вільям Джордж Горнер (Вільям Джордж Горнер народився в 1786 році в місті Бристоль в Англії. Отримав освіту в Кінгствудській школі Бристоля. У віці 14-ти років він став помічником директора в Кінгствудській школі й директором 4 роки після того. Він поїхав з Бристоля и заснував свою власну школу в 1809 році в Баті.

Основні праці з алгебри. У 1819 р. опублікував спосіб наближеного обчислення дійсних коренів многочлена, який називається тепер способом Руффіні-Горнера (цей спосіб був відомий китайцям ще в XIII ст.). Робота була надрукована у Філософських роботах Королівського наукового співтовариства.

В XIX — на початку XX століття метод Горнера займав значне місце в англійських і американських підручниках з алгебри. Де Морган показав широкі можливості методу Горнера в своїх роботах.

Ім’ям Горнера названа схема розподілу многочлена на двочлен X–A.

Горнер помер 22 вересня 1837 року.



  1. Схема Горнера

Застосуємо метод невизначених коефіцієнтів при ділення многочлена на двочлен х-с, де с – деяке число.

Нехай поділимо многочлен а остачею буде деяке число R, -неповна частка, то



. Розкриємо дужки в правій частині та зводимо подібні доданки.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної х у лівій і правій частині рівності та отримаємо:







Звідси:





……………………………….



Обчислення за цими формулами зручно записувати у вигляді таблички, названої на честь англійського математика Джорджа Горнера (1786-1837) схемою Горнера.












…..





С














Обов’язково, щоб многочлен був записаний в стандартному вигляді.

У цій схемі кожне число другого рядка, починаючи з другого стовпчика, є сумою попереднього числа, помноженого на с, і числа, що розміщене над ним.



Приклад.

Знайти неповну частку та остачу від ділення многочлена

Виконаємо ділення за схемою Горнера.

Пояснення вчителя. У верхньому рядку розставляємо коефіцієнти діленого. (Якщо в ньому не вистачає якогось члена, то замість коефіцієнта ставимо 0).

Цифру в другому стовпчику, що відповідає першому коефіцієнту просто зносимо вниз.

Множимо число з першого стовпчика на число із другого і додаємо коефіцієнт із наступного.

Множимо число із першого стовпчика на число, що вийшло в попередній дії (третій стовпчик) й додаємо до цього коефіцієнт з наступного стовпчика.

За аналогією знаходимо число для останнього стовпчика.

(Число в останньому стовпчику - це остача).

Виконаємо ділення за схемою Горнера.






1

-4



0

-1

-5

2



2·1+(-4)= -2

(-2)·2+3= -1

2·(-1)+0)= -2





Остача: R=-15

Неповна частка: .



  1. Закріплення умінь і навичок

Приклад.

Знайдіть числа a і b з тотожної рівності:

а)



a-6=-8,


b-3a=9,

3b=9


-2-6=-8

b=3


3-3a=9

-3a=6


a=-2

Відповідь: a=-2, b=3

б)



a+2=5, a=3, a=3,

b+a-4=3, 4+3-4=3, b=4.

b-2a=-2, 4-2a=-2,

2b=8; b=4;

Відповідь: a=3, b=4.



Приклад.

в)

Q(x)=



_

_



_



_





.

Приклад. (самостійно)

Знайти неповну частку та остачу, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів:

б)





a=2, a=2,

b=0, b=0,

c-a=0 c=0,

d-b=3, d=3,

L-c=-4, L=-4

Відповідь:

– неповна частка

3х-4 – остача.



Приклад.

Користуючись схемою Горнера, знайти остачу від ділення многочлена на двочлен:








1

-3

6

-10

16

4

1

1

10

30

136

R=136 – остача

– неповна частка.

  1. Завдання додому

Вивчити § 7, п. 44 ст. 314- 316.

Розв’язати № 44.2 (2), 44.4, 44.3. (1 - методом невизначених коефіцієнтів).



  1. Підсумок уроку

  • Що нового дізнались і чому навчились на сьогоднішньому уроці?

  • З якими методами ділення ви познайомились?

  • Яка необхідна умова ділення многочленів націло?

  • Який многочлен є многочленом канонічного вигляду?

  • Коли краще застосовувати схему Горнера?


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка