Розв’язування задач з параметрами графічним методом



Скачати 213.01 Kb.
Дата конвертації25.04.2016
Розмір213.01 Kb.


Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Дніпропетровської обласної державної адміністрації

Відділ освіти Криворізької районної державної адміністрації







Розв’язування задач з параметрами графічним методом







Автор методичної розробки:

учитель  математики та інформатики

КНЗ «Лозуватська ЗШ І-ІІІ ступенів №1

імені Т.Г.Шевченка»

Ткаченко Оксана Петрівна

2015 р.




Укладач:

Ткаченко О.П.


учитель математики та інформатики, спеціаліст вищої категорії, «учитель-методист» Комунального навчального закладу «Лозуватська ЗШ І-ІІІ ступенів №1 імені Т.Г.Шевченка»







Рецензенти:


Бібік Т.Л.


Глотенко О.Р.


методист Комунальної установи «Криворізький районний науково-методичний кабінет» Криворізької районної ради
учитель математики, спеціаліст вищої категорії,

«учитель–методист» Комунального навчального закладу «Недайводський навчально-виховний комплекс»



Розв’язування задач з параметрами графічним способом. Практико-орієнтований посібник. – село Лозуватка, Криворізький район, 2015 р., 23с.

Метою цього посібника є формування в читачів мислення розгалудженя, елементарних навичок роботи з параметрами, розвиток графічної культури, творчого мислення.

Посібник може бути використаний на уроках математики (особливо в профільних класах), на факультативах, при підготовці учнів до ДПА та ЗНО.

Специфіка задач із параметрами полягає в тому, що вони охоплюють усі теми алгебри, тому є унікальним засобом для систематизації й узагальнення навчальних досягнень учнів. Високий рівень абстрагування та алгоритмізації, що містять задачі з параметрами, розвиває навички застосування евристичних, дослідницьких прийомів роботи, вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки, культуру мислення, ініціативу, творчість, а також забезпечити інтелектуальний розвиток особистості.

Цей збірник допоможе вчителям формувати в учнів міцні навички розв’язування задач з параметрами різної складності. Опрацьовуючи матеріал посібника, учні зможуть ліквідувати прогалини в знаннях і вміннях, розширити та поглибити знання, підвищити рівень власної підготовки.

Схвалено науково-методичною радою Криворізького районного науково-методичного кабінету

Протокол №______від__________________




Зміст

  1. Знайомство з параметром…………………………………………………………4

  2. Що потрібно знати і чим користуватись…………………………..………….…5

    1. Прямі і кола……………………………………………………………………5

    2. Модуль…………………………………………………………....……………5

    3. Квадратична функція і не тільки……………………………………………..6

  3. Приклади розв’язування задач……………………………………………...….…7

3.1. Рівняння………………………………………………………………………..7

3.2. Системи рівнянь……………………………………………………..………12

3.3. Нерівності…………………………………………………………………….17

Список використаних джерел………………………………………………………...23




  1. Знайомство з параметром

В основу розв’язання задач із параметрами покладено такий принцип: значення параметра (або параметрів) вважається довільно фіксованим і розв’язок задачі знаходитися традиційними методами. Проте наявність параметрів у задачі передбачає обов’язкове дослідження існування розв’язку залежно від конкретних числових значень параметрів із області їх допустимих значень, а також знаходження всіх таких розв’язків. Задачі з параметрами, таким чином, розглядаються як ціла множина рівнянь, нерівностей або їх систем, які отримуються, коли параметри набувають конкретних значень. Форма запису відповіді у задачах з параметрами має спеціальний вигляд: значення невідомих вказуються для кожного допустимого значення параметрів.

Для розв’язання задач з параметрами необхідні ґрунтовні знання властивостей елементарних функцій, рівносильних перетворень рівнянь та нерівностей.

Задача з параметрами крім букв, що позначають невідомі, містять інші букви, які називаються параметрами. Фактично ми маємо справу не з одним завданням, а з їх нескінченною множиною.

Розв’язати завдання з параметром означає, що потрібно навести у відповіді сімейство розв’язків відносно невідомої величини для всіх можливих сталих величин (параметрів).

Важливо! Параметр у відповіді повинен «пробігти» всю числову вісь, або всі значення , що обумовлені умовою задачі.

Так, з параметрами учні зустрічаються при введенні деяких понять. Розглянемо як приклади наступні об’єкти.

Функція пряма пропорційність: y=kx (x і y - змінні, kпараметр, );

Лінійна функція: y=kx+b (x і y - змінні, k i bпараметри);

Лінійне рівняння: ax+b=0 (x - зміннa, a i bпараметри);

Рівняння першого степеня: ax+b=0 (x - зміннa, a i bпараметри, );

Квадратне рівняння: (x - зміннa, a, b і с – параметри, ).

До задач з параметрами, можна віднести, наприклад, пошук розв’язків лінійних і квадратних рівнянь в загальному вигляді, дослідження кількості їх коренів в залежності від значення коефіцієнтів.

Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного звертання до фіксованого але невідомого числа.

Існує три загальноприйняті методи розв’язання задачі з параметром: аналітичний, графічний та відносно параметра.

Аналітичний - універсальний, але найбільш складний, і потребує високої математичної грамотності.

Графічний – виключно красивий і наочний але не завжди доречний і потребує мистецтва роботи з графіками.

В цьому посібнику ми звернемо увагу саме на графічний спосіб.

Суть методу полягає в тому, що задачу зводять до з’ясування взаємного розташування графіків рівнянь що містять параметри по відношенню до графіків рівнянь які у своєму складі не містять параметрів.

Найчастіше графічно розв’язують ті задачі, де потрібно знайти кількість розв’язків, коли в задачі є «впізнавана функція», в задачах з модулями.

До того ж в деяких випадках аналітичний метод розв’язування «тягне за собою» таку кількість систем і сукупностей, що в них дуже легко заплутатись. І тоді на допомогу приходить графіка.


  1. Що потрібно знати і чим користуватись.




    1. Прямі і кола.

Щоб розв’язувати графічно задачі з параметрами необхідно вміти будувати і перетворювати графіки функцій та залежностей. В цьому розділі – відомості про графіки функцій і залежностей, які найчастіше зустрічаються.

  1. Пряма y=kx+b

    kзмінна

    b - const

    пряма «обертається» навколо точки (0; b)

    (рівняння прямої з полюсом)

    bзмінна

    k - const

    y=kx рухається вздовж осей координат


    y=k1 x+b1

    y=k2 x+b2


    k1 = k2

    прямі паралельні

    k1 k2 = - 1

    прямі перпендикулярні

  2. Коло (x-a)2 + (y-b)2=R2

aзмінна

b – const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Ох

bзмінна

a - const

R - const

коло «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

R - змінна

«сім’я» концентричних кіл з центром в точці (а; b)




Коло і пряма: перетинаються (2 спільні точки), дотикаються (1 спільна точка), не перетинаються (не мають спільних точок).

2.2. Модуль.

Графік функції виду у = |х - а| + |х - b|

«дно»: у = |а - b|




Графік залежності виду |х| + |у|= т – квадрат

|х - а| + |х - b|= т


aзмінна

b – const

т - const

квадрат «рухається» вздовж осі Ох

bзмінна

a - const

т - const

квадрат «рухається» вздовж осі Оу

aconst

b – const

т - змінна

«сім’я» концентричних квадратів з центром в точці (а; b)




    1. Квадратична функція і не тільки…

Про графік квадратичної функції написано багато. На мою думку цей конспект (посібник Г.В.Апостолова, В.В.Ясінський «Перші зустрічі з параметром»)– найкраще узагальнення відомостей про графік квадратичної функції.

Але розділ називається «Квадратична функція і не тільки». Тож давайте дослідимо ще деякі випадки непрямого використання квадратичної функції на прикладах.



Графік функції – півколо з центром в (0;0), радіусом 3 (y ≥ 0)







ОВ:



– асимптоти






ОВ:


- асимптоти




  1. Приклади розв’язування задач.




    1. Рівняння




  1. Знайдіть всі значення параметра а при якому рівняння має менше 4 коренів

Розв’язання

Запишемо рівняння в виді:

Нехай f(x) = g(x)=

Схематично зобразимо графіки функцій f(x) та g(x)

Графік функції g(x)= - пряма, паралельна осі Ох. Розв’язки рівняння – абсциси точок перетину графіків функцій. Пряма не перетне графік f(x), якщо

а < 0 і якщо а >9, то пряма матиме з графіком менше чотирьох точок перетину (а саме дві). Тобто, рівняння має менше 4 коренів коли

Відповідь:


  1. Знайти всі значення параметра а при яких найменше значення функції f(x) дорівнює найбільшому значенню функції g(x).

f(x)=|x - 1|+|x - 3|+a

g(x)=

Розв’язання

Графік функції g(x)- парабола, вітки вниз, найбільшого значення досягає в вершині: х = 0; g(x)=

f(x)=|x - 1|+|x - 3|+a

Побудуємо графік

у =|x - 1|+|x - 3|.

Найменше значення у = 2+a

Значить



Відповідь:


  1. Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а.

|x2 - 4|-|x2 - 9| =

Розв’язання

Розглянемо дві функції f(x)= |x2 - 4|-|x2 - 9| і g(x)=.

Схематично зобразимо графік f(x).

Для цього знайдемо нулі модулів і знаки модулів на проміжках

Для х ≤ -3 або х ≥ 3, f(x)=5

Для -3< x < -2 і 2< x < 3, f(x)=2х2- 13

Для -2< x < 2 f(x)= - 5







Відповідь: якщо < -5 або >5, то рівняння розв’язків не має

якщо = -5, то

якщо = 5, то

якщо то




  1. Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а

Розв’язання

Розглянемо дві функції f(x)= і g(x)=

Побудуємо графік f(x). Це півколо радіусом для f(x) ≥ 0

Графік g(x)= – пряма





  1. Пряма дотикається до півкола:

З прямокутного трикутника ОАВ (рис.1)

, тобто





  1. Пряма не перетинає півколо коли

  2. Пряма перетинає півколо в 2-х точках (розв’язках рівняння ), якщо

тобто:









  1. Пряма перетинає півколо в одній точці:

це більший з двох розв’язків даного рівняння -
Відповідь: якщо

якщо

якщо

якщо



  1. ЗНО 2013. Знайдіть найменше ціле а при яких рівняння має рівно 2 розв’язки.

Розв’язання

Виконаємо перетворення і перепишемо рівняння у вигляді:

ОДЗ:



x=5 – розв’язок

значить задача зводиться до того , щоб знайти а, при якому рівняння має один розв’язок, який ≠ 5

функція монотонно зростає на всій ОДЗ, тобто має найменше значення в х=5.
Підставимо х=5 в рівняння:






За умовою задачі а – ціле, значить

Найменше з таких значень

Відповідь:.


  1. Розв’яжіть рівняння для всіх дійсних значень параметра а

Розв’язання

Розглянемо дві функції f(x)= і g(x)=

Пробудуємо графік функції f(x)= за допомогою геометричних перетворень



Графік g(x)= - горизонтальна пряма, що рухається вгору-вниз по осі Оу



От і все, можемо писати відповідь.



Відповідь: якщо

якщо

якщо

якщо

якщо


    1. Системи рівнянь




  1. Скільки розв’язків має система в залежності від параметра а?

Розв’язання

Виконаємо перетворення і запишемо систему в виді:

Побудуємо графік першого рівняння і схематично зобразимо графік другого.



це графік , який рухається вгору-вниз по осі Ох. Очевидно, що при - графіки перетинаються в одній точці, а при – графіки не перетинатимуться.

Відповідь: якщо - система має 1 розв’язок

якщо - система розв’язків не має




  1. ЗНО 2014. Знайдіть усі від’ємні значення параметра а при яких система рівнянь має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо їх кілька – то у відповідь запишіть їхню суму.



Розв’язання

Після очевидних перетворень система набере вигляду:



Рівняння запишемо в виді



Графічним зображенням цієї сукупності є ромбоїд


Графічним зображенням сукупності є «сім’я прямих» з кутовим коефіцієнтом 5 і -5.

Оскільки а<0 , то прямі проходять через точку (-5;2). Отже,



або



Відповідь: -25
3) Знайдіть всі значення параметра при якому система має безліч розв’язків

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: y = x + 2 і y = x – 2

Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по вісі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і правої сторони кута однакові і дорівнюють 1.



Очевидно, що система має безліч розв’язків при а = ±2



Відповідь: -2; 2.
4) Знайдіть всі значення параметра при якому система має один розв’язок

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Графік першого рівняння – дві паралельні прямі: y = -x + 2 і y = -x – 2

Графік другого рівняння – кут, що рухається вгору-вниз по вісі Оу.

Кутові коефіцієнти прямих і лівої сторони кута однакові і дорівнюють -1.




Очевидно, що система має один розв’язок при -2 < а < 2



Відповідь:
5) Знайдіть всі значення параметра при якому система має рівно два розв’язки

Розв’язання

Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Для побудови графіка першого рівняння розкриваємо модуль.

Графік другого рівняння – квадрат, що рухається вздовж Ох.

Якщо а ≥ 1, то система завжди має 2 розв’язки.

Ще один випадок двох розв’язків матимемо, при а = -2

В інших випадках система не має розв’язків, або їх кількість не дорівнює двом.




Відповідь:
6) Знайдіть всі значення параметра при якому система має один розв’язок

Розв’язання

Перепишемо дану систему в виді:


Побудуємо графіки обох рівнянь в одній системі координат.

Аналогічно попередньому завданню для побудови графіка першого рівняння розбиваємо нулями модулів координатну площину на частини, шукаємо знаки модулів в кожній частині і, розкриваючи модуль, будуємо графіки в кожній частині координатної площини. Щоб знайти знаки модулів в кожній частині площині підставляємо будь-яку точку з цієї частини в кожний модуль.

Нулі модулів:

Будуємо графік рівняння:

І.

- графіку належить частина прямої

ІІ.

- графіку належить 1 точка – (3; 3)

IIІ.

- графіку належать всі точки частини ІІІ

IV.

- графіку належить частина прямої

V.

- графіку належить 1 точка – (-1; 1)

VI.

- графіку належить частина прямої

VII.

- графіку належить 1 точка – (0; 0)

Тобто графік першого рівняння – трикутник (частина ІІІ) разом з його внутрішньою областю.

Графік другого рівняння – сім’я концентричних кіл з центром в т.(0;-1)

Система має один розв’язок коли трикутник і коло дотикаються.

Це можливо в т.(0;0) і в т.(3;3). Підставляючи координати точок в друге рівняння, одержуємо:

, або



Відповідь: -5, -1, 1, 5.

3.3. Нерівності.


  1. Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.

|x - 2|+|x + 3|≤ a

Розв’язання

Побудуємо графіки функцій у=|x - 2|+|x + 3| і у=а

При a<5 графіки не перетинаються, і ніяка частина у=|x - 2|+|x + 3| не лежить нижче прямої, тож нерівність розв’язків не має

При a=5 графіки мають спільний відрізок який і є розв’язком

При a >5 графіки перетинаються в двох точках, частина графіка у=|x - 2|+|x + 3| лежить нижче прямої у = а

Знайдемо точки перетину у=|x - 2|+|x + 3| і у=а



При а>5 графіки перетинаються в точках х1= і х2=





Відповідь: якщо a<5

якщо = 5,

якщо


  1. Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.

Розв’язання

Розглянемо дві функції f(x)= і g(x)=

Графік f(x)= - півколо в додатній площині з радіусом 1;

графік g(x)= – пряма: k =-1 , що рухається вздовж осей координат. Розв’язками нерівності будуть абсциси тих точок півкола, які лежать нижче прямої.

Побудуємо графіки функцій.

Очевидно, що при a≤-1 пряма не перетинає півколо, значить нерівність розв’язків не має.

Якщо , то пряма перетинає коло в одній точці, тож розв’язком нерівності буде один інтервал.

Якщо то пряма перетинає коло в двох точках, розв’язок нерівності – 2 інтервали.

Знайдемо координати точок перетину прямої з колом. Для цього розв’яжемо рівняння:













Пряма приймає положення дотичної коли





Відповідь: якщо

якщо

якщо

якщо

якщо


  1. Знайдіть усі значення параметра а при яких система має єдиний розв’язок.


Розв’язання

Перепишемо систему в виді:

Розглянемо систему координат Xoa. Побудуємо в цій системі графіки функцій та

Розв’язком системи нерівностей є заштрихована частина графіку.

Система матиме один розв’язок лише при а = 0 та а = -1.



Відповідь: 0; 1.


  1. Знайдіть усі значення параметра а при яких множина розв’язків системи є відрізок вказаної довжини. (l = 1)



Розв’язання

Перепишемо систему в виді:




Розглянемо систему координат Xoa. Побудуємо в цій системі графіки функцій

та


Може бути два випадки, коли розв’язком системи є відрізок довжиною 1. Знайдемо при якому значенню параметра це відбувається.

І випадок. Знайдемо корені рівняння:




Шуканий випадок буде при умові:







ІІ випадок. Знайдемо корені рівняння:





Виберемо менший корінь:


Шуканий випадок буде при умові:















Відповідь: 1, .

5) Розв’яжіть нерівність для всіх дійсних значень параметра а.


Розв’язання

Розглянемо дві функції та .

Побудуємо їх графіки в одній системі координат.

Розглянемо такі випадки:

І. Якщо то

ІІ. Якщо то графік має вигляд:



Пряма () завжди буде проходити нижче графіка . Тож розв’язками нерівності буде область визначення функції . Тобто



якщо

ІІІ. Якщо то графік має такий вигляд:


Так як кутові коефіцієнти прямої і асимптоти однакові, пряма буде перетинати графік в одній точці . Знайдемо х1.











Тобто, якщо



якщо

Відповідь: якщо то

якщо ;



якщо

Список використаних джерел:


  1. Г.В.Апостолова, В.В.Ясінський Перші зустрічі з параметром. - К.: Факт, 2006. – 324с.

  2. В.В. Ясінський Математика. Навчальний посібник для слухачів ІДП НТУУ «КПІ».-К.: ІДП НТУУ «КПІ», 2014. – 472с.

  3. Є.П.Нелін Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Профільний рівень. – Х. : Гімназія, 2010. – 416с.



База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка