Київський національний університет імені Тараса Шевченка Радіофізичний факультет



Скачати 119.49 Kb.
Дата конвертації26.04.2016
Розмір119.49 Kb.


Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Радіофізичний факультет

Кафедра математики і теоретичної радіофізики




Укладач професор Юрачківський А.П.

Теорія імовірностей
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності 6.070204 – прикладна фізика

Затверджена на засіданні кафедри, протокол № 6 від 12.05.10

Завідувач кафедри Висоцький В.І.

Декан факультету Анісімов І.О.



КИЇВ – 2010
Робоча навчальна програма з дисципліни Теорія імовірностей
Укладач доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.
Лектор доктор фізико-математичних наук професор Юрачківський А.П.

Викладач Іваненко Д.О.

Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 2010
___________________________

Підпис голови НМК факультету

Вступ

Теорія імовірностей – базова нормативна дисципліна для спеціальності радіофізика і електроніка. Читається в четвертому семестрі в обсязі 2 кредити (лекції – 17 год., практичні заняття – 17 год., самостійна робота – 34 год.).

Мета і завдання навчальної дисципліни

Навчити студента будувати імовірнісні математичні моделі тих явищ у яких фактор випадковості відіграє істотну роль; і досліджувати їх за допомогою стандартного апарату теорії імовірностей і математичної статистики.



Предмет навчальної дисципліни

Явища і процеси, у яких фактор випадковості відіграє істотну роль. Математичний апарат, призначений для вивчення таких явищ.



Вимоги до знань і вмінь

Знання у фундаментальних науках відіграють допоміжну, обслуговуючу роль. Головне – здатність робити власні висновки. Теорія імовірностей це спосіб мислення. Студент повинен володіти основними поняттями: імовірнісного простору, умовної ймовірності, імовірнісної незалежності, випадкової величини, функції розподілу, характеристичної функції, сподівання, коваріації, дисперсії – і вміти застосовувати основні факти теорії імовірностей (формули повної імовірності та Баєса, критерії незалежності випадкових величин, зв’язок -розподілу з нормальним, центральну граничну теорему, теорему Пуассона, теорему Фішера).



Місце навчальної дисципліни в структурно-логічній схемі спеціальності

Використовується в нормативних курсах статистичної фізики і статистичної радіофізики, а також у ряді спеціальних курсів.



Система оцінювання

Результати навчання оцінюються за модульно-рейтинговою системою. Курс складається з трьох змістових модулів (ЗМ). З курсу передбачено три модульні контрольні роботи (МКР). Підсумкова оцінка (ПО) розраховується за накопичувальною системою.




Максимальна кількість балів

ЗМ 1

ЗМ 2

Залік

ПО

За МКР

16

20







За активність на заняттях і виконання завдань СРС

8

16







Всього


24

36

40

100


ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛІНИ


№ теми

№ темии

Назва теми

кількість годин

Лекції


Практичні

Самостійна робота

Контр. модульна робота




Змістовий Модуль 1. Базові поняття і факти теорії імовірностей


1

Імовірнісний простір як математична модель стохастичного експерименту. Експерименти зі скінченним числом рівноможливих вислідів

2

2

1




2

Геометричні імовірності. Умовні імовірності. Незалежні події. Формула повної імовірності. Формула Баєса

2

2







3

Математичний апарат теорії імовірностей: вимірні відображення, інтеграл Лебега. Означення випадкової величини і функції розподілу

2




1




4

Послідовності незалежних випробувань. Біномний розподіл. Теореми Муавра–Лапласа і Пуассона




2







5

МКР










2




Всього

6

6

2

2




Змістовий Модуль 2. Випадкові величини


6

Сподівання і моменти вищих порядків випадкової величини. Коваріація, дисперсія, коефіцієнт кореляції. Інтегральні перетвори розподілу: характеристична функція, перетвір Лапласа − Стілтьєса, генератриса

3

2







7

Умовне сподівання випадкової величини відносно -алгебри. Умовний розподіл одного випадкового вектора відносно іншого

2

1

1




8

Дискретні випадкові величини

1

2







9

Поняття абсолютно неперервного розподілу і густини. Поняття сингулярного розподілу. Основні абсолютно неперервні розподіли

2










10

Задачі на знаходження одновимірних розподілів




2







11

Задачі на знаходження багатовимірних розподілів




3

1




12

Граничні теореми теорії імовірностей

3

1

1




13

МКР










2

Всього

11

11

3

2


ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1
Лекція 1. Неформальні означення стохастичного експерименту і ймовірності. Властивості імовірності. Строгі означення: -алгебра, міра, імовірнісна міра, імовірнісний простір, випадкова подія. Класичне означення імовірності в моделі зі скінченним числом рівноможливих вислідів.

Лекція 2. Геометричні імовірності. Умовна імовірність. Незалежні події. Формула повної імовірності. Формула Баєса.

Лекція 3. Вимірні функції. Функція розподілу міри. Означення випадкової величини і розподілу її. Побудова і властивості інтеграла Лебега.

Практичне заняття 1. Класичне означення імовірності. Геометричне означення імовірності.

Практичне заняття 2. Умовні імовірності. Незалежні події. Формула повної імовірності.

Практичне заняття 3. Формула Баєса. Схема випробувань Бернуллі. Теореми Муавра–Лапласа і Пуассона.

МКР– 2 год.

Питання, винесені на самостійну роботу


  1. Операції над випадковими подіями [3, § II.1], [5, § I.1], [6, § 2.1].

  2. Властивості інтеграла Лебега [3, § ІІ.6].


Контрольні запитання
Алгебра, σ-алгебра, міра, імовірність, імовірнісний простір, випадкові події.

Умовна ймовірність, незалежність подій. Повна група подій. Формули повної ймовірності і Баєса.

Борелева σ-алгебра, функція розподілу міри. Вимірна, зокрема борелівська фунція.

Випадкова величина та її розподіл. Незалежність випадкових величин. Означення і властивості функції розподілу. Критерій незалежності випадкових величин у термінах функцій розподілу.

Інтеграл Лебега: означення і властивості.
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2
Лекція 4. Сподівання і моменти вищих порядків випадкової величини. Коваріація випадкових векторів. Дисперсія випадкового вектора. Коефіцієнт кореляції двох випадкових величин.

Лекція 5. Характеристична функція випадкового вектора. Теорема Бохнера − Хінчина. Перетвір Лапласа − Стілтьєса. Генератриса (твірна функція).

Означення і властивості умовного сподівання випадкової величини відносно -алгебри.



Лекція 6. Умовний розподіл одного випадкового вектора відносно іншого. Основні дискретні розподіли

Лекція 7. Поняття абсолютно неперервного розподілу і густини розподілу. Зв’язок густин розподілів двох випадкових векторів, пов’язаних невипадковою функціональною залежністю.

Основні абсолютно неперервні розподіли: рівномірний, гамма-розподіл (зокрема показниковий і ), нормальний (одно- і багатовимірний), розподіл Коші. Приклади сингулярних розподілів.



Лекція 8. Види збіжності випадкових величин і розподілів.Закон великих чисел, центральна гранична теорема, теорема Пуассона.

Лекція 9. Застосування граничних теорем теорії імовірностей у статистичному моделюванні (метод Монте-Карло) і математичному аналізі.

Практичне заняття 4. Обчислювання числових і функціональних характеристик випадкових величин.

Практичне заняття 5. Дискретні розподіли: від’ємно-біномний, геометричний, пуассонів, рівномірний на скінченній множині.

Практичне заняття 6. Загальне поняття випадкової величини. Задачі на знаходження одновимірного розподілу.

Практичне заняття 7. Застосування поняття умовного сподівання. Задачі на знаходження умовного розподілу.

Практичне заняття 8. Задачі на знаходження густини або характеристичної функції багатовимірного розподілу.

Практичне заняття 9. Деякі аналітичні задачі, розв’язувані за допомогою закону великих чисел і центральної граничної теореми.

МКР – 2 год.
Питання, винесені на самостійну роботу


  1. Властивості умовного сподівання [2, § 5.5], [3, гл. І, § 8; гл. ІІ, § 7], [4, § 6.3], [5, розд. II, § 6]

  2. Задачі на знаходження розподілу, сподівання і дисперсії випадкового вектора [1, § 23, 24, 40], [2, § 3–5], [4, § 6.1–2], [5, розд. II, § 3, 4].

  3. Граничні теореми теорії імовірностей [1, § 13–15, 31–34, 41, 42], [2, гл. 6 і 8], [3, гл. І, § 5–7; гл. ІІІ, § 4], [4, § 3.2–3.4, 3.8, 3.9, 6.4], [5, розд. IIІ, § 3, 4; розд. V, § 2], [6, § 2.4].


Контрольні запитання
Сподівання випадкової величини – означення, вираз М через розподіл і функцію розподілу випадкової величини, властивості. Некорельованість. Моменти, абсолютні моменти, центровані моменти. Загальна нерівність Чебишова. Сподівання функції від незалежних випадкових величин.

Коваріація, дисперсія. Властивості дисперсії. Нерівність Чебишова в термінах дисперсії. Коефіцієнт кореляції – означення, властивості, геометрична інтерпретація.

Характеристична функція випадкової величини – означення і вираз через функцію розподілу. Вирази моментів випадкового вектора через похідні в нулі характеристичної функції. Критерій незалежності випадкових величин у термінах характеристичних функцій. Теорема Бохнера−Хінчина.

Означення і властивості умовного сподівання.

Розподіли: біномний, геометричний, пуассонів, мультиномний.

Абсолютно неперервний розподіл, густина розподілу. Вираз характеристичної функції через густину. Перетворення густини при функціональних перетвореннях випадкових векторів .

Розподіли: рівномірний (в області і на відрізку), показниковий, гамма- (зокрема ), Коші, нормальний – одновимірний і багатовимірний. Зв'язок між нормальним і - розподілами.

Види збіжності випадкових величин і зв'язок між ними.

Закон великих чисел у формах Чебишова і Колмогорова. Центральна гранична теорема у формах Ліндеберга і Ляпунова. Теорема Пуассона.

ЛІТЕРАТУРА




  1. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. 1988.

  2. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. 1978.

  3. А.Н. Ширяев. Вероятность. 1989.

  4. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. 1988.

  5. Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. Математическая статистика. 1984.

  6. Теорія ймовірностей. Збірник задач. За ред. А.В. Скорохода. 1976.

  7. О.М. Радченко. Вступ до теорії ймовірностей. 2006.




База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка