Картка (план) заняття №50 Предмет «Математика» Тема заняття



Скачати 108.95 Kb.
Дата конвертації30.04.2016
Розмір108.95 Kb.


НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА КАРТКА (ПЛАН) ЗАНЯТТЯ50
Предмет«Математика»
Тема заняття Застосування похідної до дослідження функції і побудови її графіка (умови зростання, спадання, екстремуми, точки перегину)
Тип заняття комбінований Час – 80 хв.
Мета заняття:

Дидактична – познайомити з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функцій, екстремумів функції, точок перегину; формування умінь у знаходженні проміжків монотонності, екстремумів функцій, точок перегину;

Розвивальна – розвивати пам'ять і мислення; розвивати цікавість до математики, прагнення краще вчити предмет; здатність до творчого застосування знань і вдосконалення умінь;

Виховна – виховувати наполегливість і відповідальність, допитливість, уважність, натхнення, любов до навчання та вміння працювати разом.
Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби: підручник, таблиця «Похідна», роздатковий матеріал

Література:

  1. Шкіль М.І.Алгебра і початки аналізу 10 – 11 кл. – К.,2001.

  2. Нелін Є.П.Алгебра і початки аналізу 11 кл. – Х., 2011

  3. Кравчук В.Алгебра і початки аналізу 10 кл. – Т., 2008


ХІД ЗАНЯТТЯ:

  1. Організаційна частина:

вітаюсь, перевірка присутності студентів і готовності аудиторії до заняття


  1. Актуалізація опорних знань студентів:

Фронтальне опитування


  1. Мотивація навчальної діяльності:




  1. Повідомлення теми і мети заняття:

Застосування похідної до дослідження функції і побудови її графіка (умови зростання, спадання, екстремуми, точки перегину


  1. Повідомлення нових знань за планом:

1. Ознака зростання і спадання функції на деякому проміжку.

2. Точки екстремуму та екстремум функції.

3. Необхідна умова екстремуму, поняття стаціонарної точки.

4. Достатня ознака екстремуму функції.

5. Точки перегину.
6.Узагальнення набутих знань:

Рефлексія:


    1. Дайте означення зростаючої / спадної на множині функції. Наведіть приклади таких функції.

    2. Сформулюйте достатню умову зростання функції на множині.

    3. Сформулюйте достатню умову спадання функції на множині.

    4. Сформулюйте умову сталості функції на множині.

    5. Які точки називають критичними точками функції?

    6. За якою схемою можна досліджувати функції на монотонність?

Розв’язування вправ

[2], §6, п.6.1, №1, 4, 6,12, 14(непарні), 15(непарні), 16, додаток №1
7. Домашнє завдання:

[2], §6, п.6.1, №7, 14(парні), 15(парні), конспект



Застосування похідної до дослідження функції і побудови її графіка (умови зростання, спадання, екстремуми, точки перегину)
1) Ознака зростання і спадання функції на деякому проміжку.

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать проміжку, із умови випливає, що

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис.,



утворює з додатним напрямом осі Ох або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі Ох.

Виходячи із геометричного змісту похідної: , це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід'ємна, тому для зростаючої функції виконується умова: .

Функція називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х1 і х2, що належать цьому проміжку, із умови випливає, що .

Дотична в кожній точці графіка спадної функції, як видно з рис.,

утворює з віссю Ох або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції , яка спадає на деякому проміжку, виконується умова .

На рис.

видно також, що одна і та ж функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє формулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

Якщо функція диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не від'ємна.

Якщо функція диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.

Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку.

Нехай значення похідної функції додатні на деякому проміжку, тобто . Оскільки ,1 то із умови випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі Ох. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає .

Якщо на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю Ох тупий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тобто функція спадає.





Ознаки зростання (спадання) функції на проміжку:

Якщо на проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо на проміжку, то функція спадає на цьому проміжку.

Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:



  1. Знайти область визначення заданої функції .

  2. Знайти похідну .

  3. Розв'язати нерівності:

а) , указати проміжки зростання функції ;

б) , указати проміжки спадання функції .


2) Точки екстремуму та екстремум функції.

При дослідженні поведінки функції в деякій точці зручно користуватися поняттям околу. Околом точкиа називається будь-який інтервал, що містить цю точку.

Наприклад, інтервали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) - околи точки 3.

Розглянемо графік функції, зображений на рис.



Як видно із рисунка, існує такий окіл точки х = а, що найбільше значення функція в цьому околі набуває в точці х = а.

Точку х = а називають точкою максимуму функції.

Аналогічно точку x=b називають точкою мінімуму функції , оскільки значення функції в цій точці найменше порівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.



Означення. Точка а із області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки а, що для всіх із цього околу виконується нерівність .



Означення. Точка b із області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки b, що для всіх із цього околу виконується нерівність .

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції (максимум і мінімум функції).

Точки максимуму позначають хmax, а точки мінімуму – xmin.

Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: ymaxiymin.


3) Необхідна умова екстремуму, поняття стаціонарної точки.

Розглянемо функцію , яка визначена в деякому околі точки х0 і має похідну в цій точці. Я



Якщо х0 - точка екстремуму диференційованої функції , то .

Це твердження називають теоремою Ферма на честь П'єра Ферма (1601—1665) — французького математика.

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт дорівнює нулю.

Слід зазначити, що якщо , то х0не обов'язково є точкою екстремуму.

Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба шукати тільки серед коренів рівняння , але не завжди корінь рівняння є точкою екстремуму.

Внутрішні точки області визначення функції , у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними.

Отже, для того щоб точка х0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.
4) Достатня ознака екстремуму функції.

Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких стаціонарна точка є точкою максимуму або мінімуму функції.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак з «+» на «-», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму.

Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а праворуч — додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «—» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму.

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.


5) Точки перегину.

5.1. Про поняття опуклості графіка функції.

При побудові графіка функції, як правило, треба дослідити опуклість (вгору або вниз) графіка функції на окремих ділянках з області визначення заданої функції.



Означення. Кажуть, що на інтервалі (a;b) графік неперервно диференційованої функції обернений опуклістю вгору, якщо похідна спадає на інтервалі (a;b).
Означення. Кажуть, що на інтервалі (a;b) графік неперервно диференційованої функції обернений опуклістю вниз, якщо похідна зростає на інтервалі (a;b).

5.2. Достатні умови опуклості графіка функції.

Теорема. Нехай функція , має першу і другу похідні.

Тоді, якщо для всіх , то на інтервалі графік функції обернений опуклістю вгору, якщо ж для всіх , то графік функції обернений вниз на цьому інтервалі .



Зауваження. Умова знакосталості другої похідної, будучи достатньою умовою опуклості (вгору або вниз) графіка функції, не є одночасно необхідною умовою.

Інтервалами опуклості графіка функції називаються інтервали, в яких графік функції обернений опуклістю вгору або вниз.

Правило знаходження інтервалів опуклості:

  1. знайти критичні точки функції (за другою похідною), які належать інтервалу , тобто точки, в яких або або не існує.

  2. в кожному з інтервалів, на які розбивається інтервал критичними точками функції , знайденими в першому пункті даного правила, встановлюється знак .

Якщо в даному інтервалі , то на цьому інтервалі графік функції обернений опуклістю вниз, якщо ж , то на цьому інтервалі графік функції обернений опуклістю вгору.
5.3. Точки перегину.

Точкою перегину графіка функції називається точка графіка функції , яка розділяє інтервали опуклості графіка цієї функції.

Очевидно, що в точці перегину дотична до графіка кривої повинна з одного боку лежати вище графіка кривої, а з другого – нижче його, тобто перетинати криву в цій точці.



Необхідна умова. Нехай функція визначена й має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі . Тоді, якщо точка , де , є точкою перегину графіка функції , то .

Достатня умова. Якщо функція , , має похідні першого і другого порядку на інтервалі і її друга похідна змінює знак при переході аргументу через , то є абсцисою точки перегину графіка функції , .

Правило знаходження точок перегину графіка функції:

  1. знайти критичні точки функції , , які належать інтервалу .

  2. дослідити знак другої похідної в деякому околі кожної точки (окіл вибирається так, щоб в нього потрапили інші критичні точки).

При цьому, якщо змінює знак при переході аргументу через таку точку , то точка є точкою перегину графіка функції ,

Додаток №1

Застосування похідної до дослідження функції і побудови її графіка (умови зростання, спадання, екстремуми, точки перегину)


  1. Знайти інтервали угнутості та опуклості кривої .

Відповідь: , на проміжках функція зберігає знак плюс, і синусоїда напрямлена вгнутістю вниз (опукла), у проміжках і отже, синусоїда напрямлена вгнутістю вгору. При друга похідна перетворюється у нуль, змінюючи при цьому знак, у цих точках графік має перегин.


  1. Дослідити на опуклість графік функції .

Відповідь: на інтервалі графік даної функції напрямлений опуклістю вгору, а на проміжку - опуклістю вниз.


  1. Знайти точки перегину графіка функції .

Відповідь: точка є точкою перегину, причому на проміжку графік даної функції напрямлений опуклістю вгору, а на проміжку - опуклістю вниз.


  1. Дослідити на опуклість графік функції:

  2. Дослідити на опуклість графік функції:

  3. Дослідити на опуклість графік функції:

  4. Дослідити на опуклість графік функції:

  5. Дослідити на опуклість графік функції:

  6. Дослідити на опуклість графік функції:

  7. Дослідити на опуклість графік функції:

  8. Дослідити на опуклість графік функції:

  9. Знайти точки перегину графіка функції:

  10. Знайти точки перегину графіка функції:

  11. Знайти точки перегину графіка функції:

  12. Знайти точки перегину графіка функції:

  13. Знайти точки перегину графіка функції:

  14. Знайти точки перегину графіка функції:

  15. Знайти точки перегину графіка функції:

  16. Знайти точки перегину графіка функції:







c:\documents and settings\admin\рабочий стол\111.bmp




База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка