Інтегрований урок: алгебра, фізика, біологія у 10 класі у світі гармонічних коливань. Тригонометричні функції та їх властивості. Роз’язування найпростіших тригонометричних рівнянь



Скачати 186.6 Kb.
Дата конвертації15.04.2016
Розмір186.6 Kb.
Інтегрований урок: алгебра, фізика, біологія у 10 класі

У світі гармонічних коливань . Тригонометричні функції та їх властивості. Роз’язування найпростіших тригонометричних рівнянь cos x = a, sin x = a.

Т.В.Лисогор, с.Стебне,

Звенигородський р-н, Черкаська обл.

Мета уроку: Формування уміння учнів застосовувати здобуті знання у нестандартних умовах, вчити їх аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літератури, показати зв’язок алгебри з життям, міжпредметні зв’язки, дослідити закони синусоїди та косинусоїди в навколишньому світі, сформувати вміння застосовувати означення та властивості обернених тригонометричних функцій при розв’язуванні найпростіших тригонометричних рівнянь, розвивати уяву учнів, вчити спостерігати закономірності, робити висновки.

Тип уроку. Урок формування знань, умінь і навичок.

Обладнання. Презентація до уроку, учнівські презентації. Комп’ютер, проектор, дидактичні картки, таблиці «Роз’язування найпростіших тригонометричних рівнянь».



Епіграф до уроку

Природа формує свої закони мовою математики

Г.Галілей

Хід уроку

І. Організація класу. Перевірка наявності домашнього завдання. Кожен учень отримує лист контролю знань.




Рейтинг

Набрані бали


Критерії оцінювання

Бали

Оцінка

Повідомлення

1 б




1

1

Завдання 1. Визначити A,w, T гармонічного коливання

0-1 б




2

2

Завдання 2. Написати ріняння гармонічного коливання

0 -1 б




3

3

Завдання 3. Математичний диктант.

0 -5 б




4

4

Завдання 4. Показати розв’язки тригонометричного рівняння на одиничному колі

0 -3 б




5

5

Завдання 5.Коментоване розв’язування рівнянь

0 -1 б




6-8

6

Завдання 6. Колективне розв’язування рівнянь

0 -1 б




9-11

7

ТЕСТ

0 -10 б




12-14

8

Відповіді на додаткові запитання, доповнення

0 – 1 б




15-17

9

Всього

24 б




18-20

10










21-23

11










24

12



ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Взаємоопитування учнів (метод кубування)

- Що називається функцією?

  • Що називається синусом кута α?

  • Що називається косинусом кута α?

  • Що є графіком функціїї синус?

  • Які функціїї називаються тригонометричними?

  • Що є графіком функції косинус?

  • Яку функцію називають парною?

  • Яку функцію називають непарною?

  • Який найменший додатний період має функція , .

  • Властивості функції синус.

  • Властивості функції косинус.

2.Робота в групах.

- Скласти алгоритм побудови графіка функції



y = 2cos(x + ) – 1



c:\users\сергей\pictures\mp navigator ex\2013_01_21\img.jpg

  • Користуючись графіком функції y=sinx, побудувати графік функції: 2)y= sin(x- π/6); 3)y= sin(x+π/3); 4)y= sinx+1; 5)y= sinx-1,5


у

х
графіки

Питання до учнів: Які перетворення ви використали для того, щоб побудувати заданий графік функції?



Повідомлення учня: Історична довідка. Тригонометрія має велике практичне значення, зокрема, для розв’язання задач на знаходження площ і об’ємів, на додавання і розкладання сил, на знаходження віддалей до недоступних предметів тощо. Вона широко застосовується в механіці, топографії, астрономії. Велике значення має тригонометрія також у навігаційній справі, бо й тут неабияку роль відіграють вимірювання на поверхні Землі. Першим графіком тригонометричної функції, що з’явився в друкованих публікаціях, була синусоїда, розміщена в одному з творів французького математика Жиля Персона де Роберваля. Цей графік був накреслений в кінці 30-х років 17ст. Подальший розвиток тригонометрії тісно пов’язаний з іменем Леонарда Ейлера.

ІІІ. Мотивація навчання. Тихо звучить музика. Відео гармоніки в природі.

дельфін дубаї

Учитель математики: приємно розпочати урок з такого прекрасного музичного супроводу.

Проста гармонія буття

Повторення й повторення

То вверх крокуємо то вниз,

Удачі за невдачами,

По синусоїді кудись

Всі пливемо неначе ми.

Г.П. Бевз

Як ви думаєте, що пов’язує між собою звучання струни, рух маятника, найрізноманітніші біоритми живих організмів?

Відповідь учня. Це окремі приклади коливальних рухів.



Учитель математики: а щоб описати їх, поставити на службу людям, треба побудувати математичну модель таких явищ. Математичний опис періодичних процесів створювали вже вчені стародавнього світу. Так вавилонські астрономи деякі закономірності руху Місяця і Сонця виразили у вигляді спеціальних таблиць, які вони назвали функціями. Теорія тригонометричних функцій, яку ми вивчили, теж є однією з найдавніших моделей періодичних явищ.

Отже, сьогодні на уроці ми побуваємо в чарівному світі гармонії і краси – у світі властивостей тригонометричних функцій. Намагатимемось показати, що ми всі живемо за їх властивостями, навколо нас оточує багато речей, які підвладні цим законам.



Повідомлення учня: Гармонічні коливання (презентація до виступу) Періодичні зміни фізичної величини в залежності від часу, які відбуваються за законом синуса або косинуса називаються гармонічними коливаннями. Рівняння гармонічних коливань ,.

Основні характеристики гармонічних коливань:



  1. А – амплітуда коливань; характеризує найбільше відхилення точки, що коливається від положення рівноваги;

  2. – фаза коливань, яка визначає стан коливальної системи у будь-який момент часу [рад];

  3. - початкова фаза коливань;

  4. - кутова швидкість [рад/с];

  5. - час [c]

  6. – період коливань [c] – це час, за який точка здійснює одне повне коливання;

  7. – частота коливань. Вона показує скільки коливань здійснює точка за 1с.

Задача1.

За графіком гармонічних коливань, знайдіть амплітуду, період, частоту і початкову частоту коливань, та запишіть рівняння коливання.

На іншому слайді відповіді: А=0,1м; Т=0,4с; ω===5π;

==2.5гц; у=0,1sin5πt.

Задача2. Визначити амплітуду, фазу, початкову фазу і кутову швидкість гармонічного коливання, заданого формулою.

а) y = 6 sin(2t+ π/6), б) y=0,8 sin3t

Задача 3. За поданими графіками визначити амплітуду, фазу, початкову фазу і кутову швидкість гармонічного коливання, задати формулою.

VI. Формування вмінь.

1.Фронтальне опитування.



  • Яка функція називається оборотною? Функція f називається оборотною на деякому проміжку якщо на цьому проміжку до неї існує обернена.



  • Умова оборотності функції. Для того щоб функція була оборотною, необхідно щоб вона кожне своє значення приймала лише раз на області визначення. Для того, щоб функція була оборотною, достатньо щоб вона була монотонною (зростаюча або спадна ) .

-Чи задовольняють умови оборотності тригонометричні функції для довільних значень змінної x ? Ні. Оскільки не виконується необхідна умова оборотності

  • Як ми вирішуємо цю проблему? Розглядаємо дані функції на окремому інтервалі, де виконуються необхідна та достатня умови оборотності.

  • Що називається арксинусом числа a? Арксинусом числа а називається таке число із проміжку, синус якого дорівнює а.

  • Що таке арккосинус числа a ? Чому дорівнює арккосинус від’ємного аргументу? Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює а.

  • arccos (-а) = π - arccos а.

2.Робота в групах . Завдання. Визначити:

І група. Властивості арккосинус.

ІІ група. Властивості арксинус.

ebpbe64

На якому з малюнків зображені графіки відповідних функцій?



2.Математичний диктант (Нелін Є.П. №1-3), стор.323.

Варіант -1 Варіант -2

1) arcsin 1; 1) arccos;

2) arcsin; 2) arccos;

3) arcsin 0; 3) arсcos (-l);

4) arccos; 4) arccos;

5) arcsin; 5) arcsin(-1)



Очікувані відповіді:

В-1 1) 2) ; 3) 0; 4) ; 5) - ;

В-2 1) 2) ; 3) ; 4) ; 5) -

Робота з таблицями. ( підручник Є.П.Нелін. стор.324,327)



2.Учні за допомогою вчителя математики розв’язують задачі: (картки за зразком із вправ Нелін Є.П. № 1-2, стор.334)

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння cos x = .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо:



х = ± arccos + 2πn, п Z.

Оскільки arccos = , то маємо: х = ± + п, п є Z.



Очікувана відповідь: ± + п, п Z.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння cos x =

Розв'язання

Оскільки > 1, то рівняння коренів не має.



Очікувана відповідь: коренів немає.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння cos x = -.

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = ±arccos + 2πп, п Z.

Оскільки arccos = π - arccos = π - = , то

x = ± + 2πn, n Z.

Очікувана відповідь: ± + 2πn, n Z.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння cos x = 0.

Розв'язання

Дане рівняння задовольняє вигляд окремого випадку тригонометричного рівняння. Тому його розв’язком буде x=+ πп, п Z.



Очікувана відповідь: + πп, п Z.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння sinx = .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin + πп, п Z.

Оскільки arcsin = , то х = (-1)n + πn, п є Z.

Очікувана відповідь: (-1)n + πn, п є Z.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння sin х = - .

Розв'язання

Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin + πп, п Z.

Оскільки arcsin = - , то х =(-1)n ·+ πn, nZ; х = (-1)n+1 + πп, п Z.

Очікувана відповідь: (-1)n+1 + πп, п Z.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння sin x = -

Розв'язання

Оскільки - <1, то згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n+1 arcsin + πп, п Z.



Очікувана відповідь: (-1)n+1 arcsin + πп, п Z.

3.Коментоване виконання вправ під керівництвом вчителя. (закріплення знань, формування вмінь і навичок, метод – навчальний тренажер)

1. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння

a) -2cos х = 1; б) cos 2х - 1 = 0;

в) 2cos = ; г) - 2cos = 0.



Очікувана відповідь: а)±+2πn, nZ; б) πn, nZ;

в)±n, nZ; r)± +, nZ.

2. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння

a) 2sin х - 1 = 0; б) 2sin = - l;

в) 2sin = - ; г) 2sin = .

Очікувані відповіді: а) (-1)n + πn, nZ; б) (-1)n+1+ 2πп, пZ;

в) +(-1) n+1+, пZ; г) +(-l)n+1+4πn, пZ

Закріплення. Тест з тем «Тригонометричні функції. Обернені тригонометричні функції. Розв’язування тригонометричних рівнянь».

VІІІ.Повідомлення учнів. Періодичний характер деяких процесів у людському організмі. Біоритмологія. Біологічний годинник. c:\users\сергей\desktop\біоритм уманська.png Висновок. Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. З його допомогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

Вишивка.

c:\users\d603~1\appdata\local\temp\rar.973\12.jpg

Резонанс. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань у випадку, коли частота зміни зовнішньої сили, яка діє на систему, збігається з частотою вільних коливань, називається резонансом (від латинського слова reѕonanѕ — той, що відгукується), а відповідна частота - резонансною частотою. Явище резонансу вперше було описано Галілео Галілеєм в 1602 г в роботах, присвячених дослідженню маятників і музичних струн. Подібні коливання, якщо не вжити запобіжних заходів, внаслідок виникнення резонансу можуть стати причиною розладу роботи механізму, його руйнування, а іноді й небезпечних аварій.



містРуйнування моста «Золоті Ворота» внаслідок резонансу.

Рефлексія. Які рівняння називають тригонометричними?( Рівняння, в яких змінна стоїть під знаком тригонометричної функції.)

Привести приклади тригонометричних рівнянь.( cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x = a)

Скільки коренів може мати тригонометричне рівняння?( Безліч, жодного)

Що значить розв’язати ?( Знайти множину коренів або показати, що їх немає)

В рівняннях cos x = a; sin x = a; оцінити число а?( |a|≤1,має корені, при |a|≥1 коренів немає)

Як розв’язуються найпростіші тригонометричні рівняння?( Застосовують формули знаходження коренів)

За якою формулою знаходяться корені рівняння cos x = a? (x = arccos a + 2; n Z)

За якою формулою знаходяться корені рівняння sin x = a?( x=(-1)karcsin a + k Z)

Підсумки. Оцінювання (картки оцінювання).

Домашнє завдання. Є.П.Нелін.§24.стор.324-329, вправи №10,11,стор.334.

Повт. Властивості функцій тангенс і котангенс.

Література

Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 10-11 кл.2010.

Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл.загальноосвіт.навчальн.закладів: академ.рівень/Є.П.Нелін.-Х.:Гімназія,2010

Програма біоритми. http://youryoga.org/upload/programs

Майстер функцій. Програма.

Тестування знань учнів з тем: «Тригонометричні функції. Обернені тригонометричні функції. Розвязування найпростіших тригонометричних рівнянь»


  1. Графік функції y =sin x і y = arcsin x симетричні відносн:

  1. Вісі ординат

  2. Вісі абсцис

  3. Прямої у =х

  1. Функція y = cos x:

  1. Парна

  2. Непарна

  3. Ні парна, ні непарна

3.Встановити співвідношення між оберненими тригонометричними функціями та їх графіками:

1. arcsin x

2. arccos x

3. arctg x



c:\users\сергей\desktop\відкритий урок там\агстангенс.png c:\users\сергей\desktop\агссинус.png

  1. Обчисли: arccos







  1. Розв’язки рівняння позначено на одиничному колі:

  1. cos x= 1

  2. cos x = .

  3. cos x = -

  1. На якому малюнку позначено розв’язки рівняння : cos x = .

c:\users\сергей\desktop\один коло.png

  1. Рівняння cos х = а при |a| > 1 має корені:

  1. x = ± arcos a + 2πn, n Z

  2. немає розв’язків

  3. x=+ πп, п Z.

  1. Рівняння sin х = а при а = 1 має розв’язки:

  1. πn, п є Z.

  2. +2 πп, п Z.

С. - + 2πп, п Z.

9. Встановити відповідність між тригонометричними функціями та оберненими функціями:

1. y= sin x A. y = arcos x

2. y = cos x B. y = arcsin x

3. y = tg x C. y = arcctg x

4. y = ctg x D. y = arctg x


10. Розв’язати рівняння: cos 2 x = 1


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка