Дикарев А. В. По основам цифрой обработки сигналов киев 2014



Сторінка7/7
Дата конвертації15.04.2016
Розмір1.78 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

Пример расчета простого КИХ-фильтра.

  • Пример 2.7. Сигнал на выходе КИХ-фильтра описывается разностным уравнением:

  • z-передаточная функция такого КИХ-фильтра имеет вид:

  • Значение отсчётов импульсной характеристики:

  • Пусть значения отсчётов входного сигнала нашего КИХ-фильтра:


    Выходной сигнал рассчитывается следующим образом:





    Пример 2.8. Оптимизация коэффициентов КИХ-фильтра методом наименьших квадратов.

    Задание. По критерию наименьших квадратов (G) оптимизировать коэффициенты КИХ-фильтра заданного порядка N.

    Критерий наименьших квадратов G даёт возможность отыскать минимум квадрата разности между идеальной и реальной АЧХ с учётом весовых пользовательских коэффициентов qp и qz .

    Исходное соотношение для критерия минимизации G(C):

    В примере оптимизируются коэффициенты однородного КИХ-фильтра порядка N=5. АЧХ и критерий оптимизации такого фильтра имеет вид:



    Найдём частные производные по коэффициентам КИХ-фильтра С для кримерия оптимизации. В нашем случае:




    Найдём частную производную от критерия минимизации по C0:

    Аналогично предыдущему найдём частные производные по коэффициентам КИХ-фильтра от АЧХ:

    Те же самые выражения в общем виде:

    Решение в векторно-матричном виде:



    По аналогии с данным примером такие же результаты можно получить для фильтров с произвольным порядком N.



    2.14. Фильтры с бесконечной импульсной импульсной

    характеристикой-БИХ-фильтры
    БИХ-фильтры-это рекурсивные линейные дискретные системы с обратной связью и бесконечной импульсной характеристикой.
    Для рекурсивных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ-фильтров – уравнение фильтрации содержит как входные, так и выходные отсчеты сигнала возбуждения, а в схеме присутствуют элементы обратной связи (рис.1). Такие системы и фильтры называются рекурсивными.


    X(kT)
    B b0 b1 b2 b3 bN-2 bN-1

    CC y(kT)



    aM-1 aM-2 a2 a1

    z-1

    z-1
    z-1
    z-1

    СУММАТОР

    z-1
    z-1
    z-1

    Рис.2.17. Прямая реализация БИХ-фильтра

    БИХ-фильтр описывается разностным уравнением в рекурсивной форме:

    (2.52)

    z-передаточная функция БИХ-фильтров описывается стандартным выражением:



    (2.53)

    Поскольку БИХ-фильтры реализуются либо в виде микросхем, либо программным путем на специальных процессорах, передаточная функция может представляться по-разному.

    Разделим общий сумматор на два отдельных блока: для рекурсивной и нерекурсивной части фильтра. В результате получаются два последовательно соединённых КИХ-фильтра, один из которых содержит нерекурсивную, а другой рекурсивную часть схемы. Поскольку результат последовательного прохождения сигнала через ряд линейных стационарных устройств не зависит от последовательности их соединения, можно поменять местами обе части нашего фильтра. Важно проследить, что в обе линии задержки подаётся один и тот же сигнал, выраженный через одни и те же отсчёты. Поэтому линии задержки можно объединить. В результате получается разновидность схемы БИХ-фильтра, которая называется канонической. Теоретически обе формы эквивалентны. Но практически различия этих форм существенны. В каноническом фильтре используется одна линия задержки, а это уменьшает общее число ячеек памяти. Но при этом амплитуды отдельных отсчётов могут значительно превосходить амплитуду входного и выходного сигналов. Это приводит к необходимости увеличивать разрядность представления чисел в линии задержки по сравнению с разрядностью входного и выходного сигналов. Для прямой формы реализации КИХ-фильтров в линиях задержки хранятся непосредственные отсчёты входного и выходного сигналов и повышенной разрядности линии задержки не требуется. Единственным элементом, требующим повышенной разрядности в данном случае является сумматор и этот факт учитывается в архитектуре микропроцессоров, специально предназначенных для обработки сигналов в реальном времени. Эти соображения отражаются на структурной схеме. Представим БИХ-фильтр, как ЛДС, состоящую из двух последовательных звеньев (рис.2):
    W1(z)

    W2(z)

    X(z) Y(z)

    Рис.2.18. Представление БИХ-фильтра каскадным соединением

    двух КИХ-фильтров


    В этом случае справедливы следующие равенства:

    (2.54)

    Первое звено описывается разностным уравнением:



    (2.55)

    Второе звено описывается разностным уравнением:



    (2.56)

    При такой форме записи в БИХ-фильтре задерживается только промежуточный сигнал y(kT) и структурную схему можно представить таким образом (рис.2.19):

    x(kT)

    СУММАТОР

    С

    У

    М

    М

    А

    Т

    О

    Р

    y(kT)


    b0z-1

    z-1




    z-1

    z-1

    -a1 b1

    y(kT)




    -a2 b2



    z-1

    z-1

    -aN-2 bМ-2



    aN-1 bМ-1

    Рис.2.19. Переход к канонической форме БИХ-фильтра
    x(kT)

    СУММАТОР


    С

    У

    М

    М

    А

    Т

    О

    Р

    y(kT)


    b0z-1




    z-1

    -a1 b1

    (kT)




    -a2 b2



    z-1

    -aN-2 bМ-2





    -aN-1 bМ-1

    Рис. 2.20. Каноническая реализация БИХ-фильтра


    В структурных элементах БИХ-фильтра рис.2.20 задерживается только промежуточный сигнал y(kT). Эта схема является одной из форм канонического представления БИХ-фильтров.

    .

    Пример 2.9. Имеется рекурсивный БИХ-фильтр, описываемый уравнением:



    Структурная схема фильтра представлена на рис.5.


    x(kT)
    y(kT)
    z-1
    -a
    Рис.2.21. Пример простого БИХ-фильтра
    z-передаточная функция фильтра имеет вид:

    Импульсная характеристика БИХ-фильтра нашего примера получается при подаче на вход дискретного δ-импульса:



    Из примера видно, что по мере того, как выходная линия задержки заполняется отсчётами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро возрастает. Наличие в схеме обратных связей приводит к получению бесконечной импульсной характеристики. Из-за обратных связей работа БИХ-фильтров может быть неустойчивой.


    2.14.1. Биквадратный блок

    Основным структурным элементом БИХ-фильтров является биквадратный блок.
    Как правило, реализация цифровых фильтров в прямой или канонической форме из-за ошибок вычислений, обусловленных конечной разрядностью кода, нецелесообразна. Всегда стараются реализовать фильтры с использованием простых звеньев второго порядка - биквадратных блоков.

    Биквадратный блок является универсальным структурным элементом БИХ-фильтров, последовательное (каскадное) соединение которых позволяет получить фильтр любой степени сложности. Биквадратный блок описывается уравнением:



    (2.57)

    z-передаточная функция биквадратного блока:



    (2.58)

    Каскадная схема подключения биквадратных блоков представлена на рис. 6:



    W1(z)

    W2(z)

    Wk(z)
    x(kT) y(kT)

    Рис. 2.22. Каскадная форма реализации БИХ-фильтра


    В этом случае передаточная функция фильтра:

    Структурная схема биквадратного блока видна из рис.7.


    x(kT) b0z-1

    y(kT)


    z-1

    -a1 b1



    -a2 b2

    Рис.2.23. Структурная схема биквадратного блока

    Биквадратный блок является результатом билинейного z-преобразованиz-преобразования аналогового блока. Для этого из формулы выделяют оператор Лапласа p, а десятичный логарифм разлагают в ряд Тейлора:

    В указанном разложении оставляют первый член ряда и путем умножения числителя и знаменателя на z-1 переходят к отрицательным степеням переменной z:



    Вводится обозначение: γ=2/T, тогда:



    Откуда переменная z как функция оператора Лапласа имеет вид



    Передаточная функция цифрового фильтра W(z) получается из передаточной функции аналогового фильтра W(p) заменой:



    (2.59)
    2.14.2. Частотная характеристика БИХ-фильтра

    Подставляя в z-передаточную функцию поворачивающий множитель получаем АЧХ и ФЧХ БИХ-фильтра обычным образом:



    Круговая частота выбирается нормированной:

    В этом случае АЧХ БИХ-фильтров имеет вид:

    Для приведенного выше примера:

    БИХ-фильтры имеют нелинейную ФЧХ.

    2.14.3. Аналоговые фильтры-прототипы
    Как и аналоговые, цифровые фильтры подразделяются на фильтры нижних, верхних частот и полосовые фильтры. Разработаны различные способы синтеза дискретных фильтров. Большое распространение получил способ расчёта дискретных фильтров на основании преобразовании комплексной частотной характеристике аналогового фильтра-прототипа [19].

    Фильтром-прототипом называют идеализированный аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза 1 рад.-сек, который допускает преобразования, необходимые для расчёта дискретных фильтров нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ) и полосовых фильтров (ПФ.

    При проектировании фильтров задаются двумя основными параметрами, которые в литературе обозначаются по-разному: неравномерностью АЧХ в полосе пропускания R=20log(δA(ω))дБ и затуханием в полосе задерживания L=20log(ξA(ω))дБ.

    Фильтр Баттерворта. Функция передачи фильтра Баттерворта:здесь n – порядок фильтра, ω(0)- частота среза на уровне 1/√2=0.707=-3дБ. Полюса фильтра, число которых равно порядку фильтра, располагаются в левой части комплексной области. Порядок n фильтра Баттерворта при заданных значениях R и L определяются по формуле:

    Передаточная функция нормированного фильтра Баттерворта нижних частот:



    N(p)- полином Баттерворта n-ого порядка, pk-полюсы фильтра:



    Полиномы N(p) нормированных фильтров Баттерворта затабулированы.



    Фильтр Чебышева 1-го рода. Функция передачи фильтра

    здесь Т(ω)- полином Чебышева n-ого порядка, где n-порядок фильтра. Полином Чебышева колеблется в полосе [-1,1], в результате чего АЧХ фильтра Чебышева 1-го рода в полосе пропускания пульсирует в интервале величина пульсаций. Порядок фильтра Чебышева определяется формулой:



    В фильтрах Чебышева 1-го и 2-го рода прослеживается взаимосвязь между тригонометрическими и эллиптическими функциями.

    По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка фильтр Чебышева обеспечивает более крутой спад АЧХ в переходной области от полосы пропускания к полосе задерживания.

    Фильтр Чебышева 2-го рода. Функция передачи фильтра


    АЧХ фильтра Чебышева 2-го рода монотонно затухает в полосе пропускания, а в полосе задерживания колеблется в интервале между нулём и величиной Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1, а в полосе задерживания – заданному уровню пульсаций напряжения.

    Эллиптический фильтр Кауэра. Функция передачи фильтра

    функция Чебышева n-го порядка. Фильтр Кауэра объединяет в себе достоинства фильтров Чебышева 1-го и 2-го рода: имеет пульсации заданной величины как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания и максимальную крутизну перехода между указанными областями.



    Фильтр Бесселя. Фильтр Бесселя не аппроксимирует прямоугольную АЧХ, а скорее функцию близкую к экспоненте. Для фильтра Бесселя групповое время в полосе пропускания остаётся постоянным. Функция передачи фильтра описывается выражением:
    коэффициенты полинома.

    Изменение частоты среза ФНЧ фильтра-прототипа для преобразование его в ФВЧ производится по формуле s→s/ω, где ω-частота среза ФНЧ.



    2.14.4. Расчёт БИХ-фильтров
    БИХ-фильтры рассчитываются на основании аналоговых фильтров-прототипов нижних частот с частотой среза Ω=1. В качестве фильтров-прототипов могут использоваться фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические и др.

    Исходными данными к расчёту БИХ-фильтров являются:



    • Полоса пропускания (ПП) 0≤ Ω≤1.

    • Полоса задерживания (ПЗ).

    • Неравномерность АЧХ в ПП в дБ.

    • Минимальное затухание в ПЗ в дБ.

    Для аналоговых фильтров четного порядка n, в частности, для фильтров Баттерворта передаточная функция имеет вид:

    здесь c, ai, bi –коэффициенты фильтра-прототипа.

    Переход от фильтра-прототипа к цифровому фильтру выполняется посредством замены:

    wпп –граница полосы пропускания.



    Пример 2.10. Получить ФНЧ БИХ-фильтр из аналогового ФНЧ с передаточной функцией:


    2.15. Метод линейного предсказания
    Теория цифровых рекурсивных цифровых фильтров нашла большое применение в устройствах сжатия и распаковки данных, в частности системах мобильной связи при кодировании речи на основании метода линейного предсказания. Метод линейного предсказания используется также при расчёте цифровых корректоров.

    Сущность кодирования цифровых данных на основании метода линейного предсказания состоит в следующем. По каналу связи передаются не параметры речевого сигнала, а коэффициенты некоторого БИХ-фильтра, повторяющие особенности речевого аппарата абонента, и параметры сигнала возбуждения. Такой фильтр носит название фильтра линейного предсказания. На передающем конце производится формирование сигналов возбуждения и коэффициентов фильтра. На приемном конце сигнал возбуждения пропускается через фильтр с известными коэффициентами, в результате чего восстанавливается речевой сигнал. В этом случае очередной отсчёт речевого сигнала y(nT) с некоторой степенью точности предсказывается линейной комбинацией K-1 предыдущих его отсчётов:



    . Здесь - коэфициенты фильтра линейного предсказания, а K-порядок предсказания. Разница между истинным и предсказанным значением отсчёта y(nT) даёт ошибку предсказания: , где -истинное значение k-ой выборки речевого сигнала. Выполнив z-преобразование для ошибки предсказания, получим разность:

    . (2.60)

    Выражение интерпретируется как передаточная функция инверсного фильтра-анализатора (трансверсального фильтра), характеристика которого обратна характеристике речевого сигнала. При подаче на вход этого инверсного фильтра речевого сигнала на выходе получается сигнал возбуждения, подобный сигналу возбуждения на входе фильтра голосового тракта. Ошибка определяется конечным порядком фильтра и отклонением истинной величины выборки от её оценки. Значения коэффициентов трансверсального фильтра предсказания выбираются постоянными на интервале некоторого наперед выбранного временного интервала (для речевого сигнала он обычно равен 20мс). После выбора порядка фильтра К методом наименьших квадратов минимизируется ошибка предсказания . Для этого находятся частные производные от ошибки предсказания по коэффиентам , т.е. , которые приравниваются нулю и решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), чтобы минимизировать величину ошибки. Полученные коэффициенты и посылаются на приёмный конец. Анализирующий трансверсальный фильтр предсказания порядка К=3 показан на рис. 2.534.



    z-1
    z-1
    z-1
    y(kT)

    0 12



    СУММАТОР

    e(kT)
    Рис.2.23. Анализирующий трансверсальный блок порядка К=3


    Из приведенных рассуждений следует, что [Гук] алгоритм линейного предсказания позволяет по некоторой линейной комбинации К-1 предшествующих взвешенных отсчетов недетерминированного сигнала с некоторой точностью предсказать будущее значение отсчёта. Алгоритм нашел широкое применение в мобильной связи и других цифровых системах для сжатия и распаковки данных. Практическая важность линейного предсказания состоит в оценке спектра исследуемого сигнала на отрезке длиной К отсчетов. С точки зрения фильтрации алгоритм состоит в получении коэффициентов БИХ-фильтра на отрезке дискретизации КТ, где Т-период дискретизации. Предполагается, что на этом отрезке коэффициенты фильтра постоянны. В результате решения задачи линейного предсказания находятся коэффициенты БИХ-фильтра на отрезке КТ амплитудночастотная характеристика которого приблизительно совпадают с формой спектра сигнала на этом отрезке. Задача линейного предсказания формулируется следующим образом:

    Сигнал y(KT) на участке KТ описывается выражением

    Передаточная функция выходного сигнала:

    (2.61)

    Из этой передаточной функции получается рекурсивный фильтр линейного предсказания с коэффициентами . Для этого последовательно с искомой системой включается КИХ-фильтр с передаточной функцией B(z), описываемой формулой - (2.62)

    Как было сказано выше, КИХ-фильтр с передаточной функцией называется фильтром линейного предсказания или фильтром-предсказателем, а его коэффициенты -коэффициентами линейного предсказания. Эти коэффициенты будут отличаться от точных значений на величину ошибки предсказания:

    . Структурная схема получения ошибки предсказания показана на рис. 2.23.

    x(kT) y(kT) z-1


    z-1
    z-1
    H(z)

    z-1

    0 1 2 K-1K



    СУММАТОР

    e(kT)


    Рис.2.23. Анализирующий трансверсальный блок порядка К=3
    Алгоритмов оптимизации ошибки предсказания (невязок) можно назвать несколько, из которых разработчик устройства выбирает наиболее подходящий.
    2.16. Цифровая коррекция каналов
    Кроме внешних помех большую проблемупри обмене дискретной информацией составляют взаимные искажения сигналов, являющиеся результатом бесконечности спектра прямоугольных импульсов. Для коррекции их используются различные различные коды (например, RLL2,7), а также гармонические и цифровые корректоры.
    В случае, когда передача осуществляется прямоугольными импульсами, необходимо учитывать, что его частотная характеристика бесконечна. Упрощённая схема системы передачи дискретной связи показана на рис. 2.24. Фильтр нижних частот (ФНЧ) на передающем конце системы оставляет главный лепесток амплитудночастотной характеристики (АЧХ), убирая все боковые. Поэтому на выходе ФНЧ форма прямоугольного импульса изменяется, он расширяется и в соседние отсчетные моменты времени уже не равен нулю. Это явление носит название межсимвольной интерференции сигнала. При прохождении через линию связи с неравномерной АЧХ и нелинейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ) форма импульсов дополнительно искажается и межсимвольная интерференция увеличивается. Задача цифрового корректора, который как будет показано, представляет собой КИХ-фильтр, по возможности избавиться от этого явления.

    Рис. 2.24. Упрощённая схема системы передачи дискретной связи


    Расчет цифрового корректора производится во временной области на основании отсчётов импульсной характеристики канала следующим образом. Подадим на вход системы передачи сигнал в виде единицы, окруженной нулями "…00100…"-аналог дискретного δ(kT)-импульса. Тогда входной сигнал корректора будут составлять отсчеты импульсной характеристике системы "ФНЧ+линия связи" g(kT) в дискретные моменты, соответствующие интервалу Котельникова (рис. 2.25). Методику раксчёта коэффициентов цифрового корректора лучше всего показать на конкретном примере. Используем в качестве корректора КИХ фильтр порядка n = 3.

    g(0) g(T) g(2T)

    Рис. 2.25. Сигналы на входе корректора
    Обозначим отсчёты импульсной характеристики как g0=g(0), g1=g(T), g2=g(2T).

    Представим динамику прохождения сигнала через корректор по тактам тактового генератора в виде сдвига информации в трёхячеечном сдвиговом регистре (рис. 2.26).



    Рис. 2.26. Потактовое прохождение отсчётов g(kT) через сдвиговый регистр

    В отсчетные моменты времени сигнал на выходе цифрового корректора описывается следующей системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):





    (2.63)



    C0 , C1 , C2 – неизвестные коэффициенты корректора.

    g0 , g1 , g2 – известные значения входного сигнала.

    VА , VБ , VВ , VГ , VД – желаемый сигнал на выходе цифрового корректора.

    Требуется, решая систему линейных алгебраических уравнений, найти коэффициенты корректора С0 , С1, С2, которые обеспечивали бы требуемые значения выходного сигнала.

    1. Первый способ решения задачи основан на определении неизвестных системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ (2.63).

    Система уравнений (2.63) несовместна, поскольку число Vi больше числа неизвестных Ck. Отбросим VА и VД , оставив VБ , VВ и VГ. СЛАУ примет вид:

    (2.64)

    G C


    Представим желаемый выходной сигнал как вектор .

    Запишем СЛАУ в векторно-матричной форме



    единичная матрица

    Искомый вектор коэффициентов корректора определяется формулой (2.65):

    (2.65)

    2. Второй способ решения задачи методом наименьших квадратов (минимизации невязок).

    Оставим все уравнения от А до Д, но вместо точного равенства левых и правых частей потребуем минимума суммы квадратов разностей - невязок.

    Обозначим:



    - желаемый выходной сигнал.

    Сумма квадратов невязок для рассматриваемого примера равна:



    , m=5, n=3. (2.66)

    Дифференцируем (2.66) по СК (К=0,…,n-1) и приравниваем к 0

    частные производные:



    (2.67)

    А C B


    В (2.67) ведём следующие обозначения:

    Aj,k – элемент матрицы А правой части (2.67), которая равна A=GTG,

    Bk – элемент вектора левой части (2.67) В=GTH, - матрица, транспонированная к G.

    Запишем систему уравнений (2.67) в векторно- матричной форме:

    AC=BA-1AC=A-1B, A-1 – единичная матрица.

    Откуда искомые коэффициенты цифрового корректора находятся как

    С=A-1B (2.68)

    Выражение (2.68) легко программируется и решается в математических системах Mathcad и Matlab.



    Выводы. 1. Цифровой корректор, представляет собой разновидность КИХ-фильтра и позволяет компенсировать межсимвольные искажения, а также стационарные линейные искажения в дискретных каналах.

    2. Исходными данными к расчету цифрового корректора являются отсчеты импульсной характеристики на интервалах Котельникова.



    3. СЛАУ нахождения коэффициентов цифрового корректора легко программируется и решается в системах Mathcad и Matlab.
    1. 4. Как показывают проверочные расчеты, исправляющая способность сигналов цифрового корректора для указанных в работе условий находится в пределах 92-97%. Расчет цифрового корректора показан на примере 2.11.

    2. Пример 2.11. Расчет цифрового корректора.

    3. Исходные данные. Задан канал передачи дискретных сообщений. Межсимвольная

    4. интерференция сигналов в канале определяется импульсной характеристикой, отсчеты которой соответственно равны g0=0.2; g1=1; g2= -0.5; U=11.

    5. 1. Используя выражение дискретной свертки, рассчитать сигнал на выходе канала в отсчетные моменты 0,1,2,3 для последовательности входных сигналов u(0), и u(T) для двух вариантов а) и б):

    6. а) u(0)=U, u(T)=0, где U=n+1;

    7. б) u(0)=U, u(T)=U.

    8. В другие отсчетные моменты u(2T)=u(3T)=0.


    1. Рассчитать коэффициенты цифрового корректора C, C, C, обеспечивающие выходной сигнал “010” при подаче на вход канала сигнала “100”.
    1. 3. Рассчитать сигналы на выхаде корректора при входных сигналах (a), (b). Проанализировать эффективность работы цифрового корректора.

    2. Пример выполнения работы при условии m=3, n=10.

    3. Первый этап

    4. Обозначим через u1(kT) сигнал на выходе канала связи и следовательно на входе цифрового корректора. В соответствии с выражением дискретной свертки он равен

    5. u1(kT)= k=0, 1, 2, 3.

    6. Учитывая, что u(jT)=0 для j>1 и g(mT)=0 для m>2, получаем

    7. k=0 u1(0)=u(0)*g(0)=u(0)*g0,

    8. k=1 u1(T)=u(0)*g(T)+u(T)*g(0)=u(0)*g1+u(T)*g0,

    9. k=2 u1(2T)=u(0)*g(2T)+u(T)*g(T)=u(0)*g2+u(T)*g1,

    10. k=3 u1(3T)=u(T)*g(2T)=u(T)*g2.

    11. Для варианта (а) u(0)=11, u(T)=0:

    12. u1(0)=11*0.2=2.2

    13. u1(T)=11*1+0*0.2=11

    14. u1(2T)=11*(-0.55)+0*1=-6.05

    15. u1(3T)0*(-0.55)=0

    1. U1=

    2. Для варианта (б) u(0)=11, u(T)=11

    3. u1(0)=11*0.2=2.2

    4. u1(T)=11*1+11*0.2=13.2

    5. u1(2T)=11*(-0.55)+11*1=4.95

    6. u1(3T)=11*(-0.55)=-6.05

    7. U1=

    1. Этап второй

    2. Вычисление коэффициентов цифрового корректора. С этой целью составляем систему трёх уравнений с тремя неизвестными, матрицу коэффициентов при неизвестных G и вектор свободных членов H, которые необходимы для нахождения коэффициентов векторно-матричным способом в среде Mathcad либо вручную методом Крамера.

    3. Система из 3-х уравнений Матрица коэффициентов

    4. с 3-мя неизвестными: корректора:

    5. G= C= H=-желаемый сигнал на выходе корректора

    6. В векторно-матричной форме: G*C=H

    7. *=

    8. Умножаем слева на обратную матрицу G

    9. G*G*C= G*H, откуда С= G*H, где

    10. (G*G)-едининичная матрица

    11. Решение с помощью программы Mathcad


    g1:=1
    g2:=-.055
    g0:=0.2
    1. Ввести:

    2. Задать матрицу G и вектор Н

    1. G= Вектор H:=


    C:=G*H
    С=
    1. Вычислить C:=G*H Результат:

    1. Решение системы уравнений по формуле Крамера

    2. С=D/D C=D/D C=D/D

    3. где D- определитель матрицы G

    4. D== =g1-g2*g0*g1-g1*g2*g0=

    5. =1-2*g0*g2=1-2*0.2*(-0.55)=1.22

    6. D=1.22

    7. D-определитель матрицы G, где 1-й столбец заменен на вектор H

    8. D==0-g1*1*g0=-g0=-0.2

    9. D-определьтель матрицы G , где 2-й столбец заменен на H

    10. D==g1-0=1

    11. D-определитель матрицы G, где 3-й столбец заменен на H

    12. D==0-g2*1*g1=0.55

    13. Таким образом,коэффициенты Вектор коэффициентов:

    14. корректора равны:

    15. С= D/D= -0.2/1.22= -0.164

    16. C= D/D=1/1.22=0.82

    1. C= D/D=0.55/1.22=0.451 С= Этап третий

    2. Прохождение сигнала U1(kT) через корректор описывается

    3. линейной дискретной свёрткой выходных сигналов с

    4. коэффициентами цифрового корректора, что иллюстрируется

    5. схемой рис. 2.27.



    u1(0) 0 0

    u1(T) u1(0) 0

    u1(2T) u1(T) u1(0)

    u1(3T) u1(2T) u1(T)

    U1(kT)

    C0

    C1
    C2



    СУММАТОР

    V(kT)


    Рис. 2.27. Коррекция выходного сигнала цифровым корректором

    



    1. 

    2. 

    3. 

    4. 


    
    1. 

    2. 

    3. 

    4. 


    


    



    1. Для случая б) вектор сигнала до и после коррекции



    1. U1= V=


    В обоих случаях ясно прослеживается эффективная работа цифрового корректора.

    2.16.1. Коррекция частотной характеристики канала связи

    гармононическим корректором

    Задача коррекции частотной характеристики канала связи может решаться на частотном уровне с помощью гармонических

    корректоров [10].

    1. Постановка задачи коррекции частотных искажений

    Обозначим:

    1. F(j) – требуемое КЧХ канала связи.

    АЧХ: (2.69)

    где =2fmax- граничная частота полосы пропускания.

    ФЧХ: arg (F(j))- линейная, соответствует задержке Т0.


    1. W(j) – реальная КЧХ канала связи W(j)  F(j)

    2. Подключим корректор с КЧХ G(i) на виход линии связи

    Линия связи W(jw)

    Корректор G(jw)

    Результирующее КЧХ: R(i)= W(i)* G(i)



    Требуется: Подобрать G(i) так, чтобы R(i) как можно меньше

    отличалось от F(i).

    Структурная схема корректора: C0

    (2.70)

    В последней формуле φ0(j),…, φn-1(j) – базисные функции, которые

    удовлетворяют условие ортогональности для kl.


    C0
    U(t) V(t)

    Cn-1



    C

    У
    ММА
    Т
    О
    Р

    φ0(j)

    φn-1(j)

    Рис. 2.27. Структурная схема гармонического корректора

    Таким образом G(j) зависят только от коэффициентов С0,...,Сn-1

    Обозначим ошибку коррекции:



    (2.71)

    .

    Необходимо найти С0,...,Сn-1, которые обеспечивают минимум

    критерия оптимизации.

    (2.72)

    Подставим (2.71) в (2.72):



    пусть а и в- комплексные величины





    Выделим отдельно:



    (2.74)

    (2.75)

    (2.76)

    Тогда критерий оптимизации принимает вид:



    (2.77)

    Определение коэффициентов критерия оптимизации

    Систему базисных функций φк(i) можно реализовать с помощью

    элементов задержки, тогда корректор приобретает структуру КИХ

    фильтров:





    , где - равно интервалу Котельникова

    Подставляя φк(j) и Т получим вместо (2.75),..,(2.77) для данного

    варианта корректора

    (2.78)

    (2.79)

    . (2.80)

    Из (2.80) следует, что матрица А является симметричной и элемент Аk,l



    зависит от .

    Поэтому вычисления Аk,l целесообразно выполнить следующим образом:



    (2.81)

    1. Аналитическое определение оптимальных коэффициентов корректора.

    В соответствии с необходимым условием экстремума найдем

    частное производное критерия (11.9) по коэффициенту Ск и

    приравняем их к нулю:

    Отсюда получим систему линейных уравнений:



    (k=0,1,…,n-1)

    Подставим ее в векторно-матричной форме:

    А*С=В

    Умножаем слева на А-1



    А-1 *А*С= А-1 *В С= А-1 *В (2.82)

    Выражение аналогично (2.82) для корректора межсимвольных искажений

    аналогично формуле нахождения коэффициентов цифрового корректора,

    однако матрица А и вектор В определяются другими соотношениями.



    ЛИТЕРАТУРА

    1. Айфичер Эммануил, Джервис Барри У. Цифровая обработка сигналов.:Пер. с англ.- М.:”Вильямс”, 2004.- 992 с.

    2. Бондарев В.Н., Трёстер Г., Чернега В.С. Цифровая обработка сигналов: методы и средства. -:Конус, 2001.-398 с.

    3. Бизин А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов.-: Новосибирск, 1998. – 50 с.


    4. Ганеев Р.М. Математические модели в задачах обработки сигналов.-М.: Горячая линия-Телеком, 2004.-80 с.

    5. ГольденбергЛ.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник.- М.: Радио и связь, 1985.-312 с.

    6. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции.- Екатеринбург: фонд электронных документов, 2005.-182 с.

    7. Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции.- Екатеринбург: фонд электронных документов, 2005.-260 с.
    8. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- М.:Наука, -1966.- 228 с.

    9. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet. – М.: Нолидж, 2000. -512с.

    10. Захарченко М.В., Стеклов В.К., Князєва Н.О., Фоміна Г.Т. Автоматизація проектування пристроїв, систем та мереж зв’язку.- К.: Радіоаматор, 1996. -268 с.

    11. Закиров З.Г., Надеев А.Ф., Файзуллин Р.Р. Сотовая связь стандарта GSM. – М.: Эко-Трендз, 2004. – 264 с.


    12. Лайонс Ричард. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ..-М.: ООО ”Бином-Пресс ”, 2006.-656 с.

    13. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Беркман Л.Н. Математичне моделювання телекомунікаційних систем: Навч. посібник.-К.-Зв’язок,2007.-270с.
    14. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. – К.: из-во Киевского университета., 1968. 197 с.

    15. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство/Пер.с яп.:М.:”Додэка-XXI”,- 2002.-176 с.

    • 15.Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Спб.: Питер, 2002. – 608 с.

    1. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: в 2-х частях: Пер. с англ.-М.: Мир, 1988. 336 и 360 с.


    2. Скляр Бернард. Цифровая связь: Теоретические основы и практическое применение, Пер. англ.-М. дом ”Вильямс”, 2007.-1104 с.
    3. Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьёва Е.Б., Гук И.И. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций.- СПб,: БХВ-Петербург, 2003. -608 с.


    4. Смирнов А.В., Пескин А.Е. Цифровое телевидение: от теории к практике.-М.: Горячая линия-Телеком, 2005.-2005 с.
    5. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.:ФМ, - 1962.-236 с.

    6. Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Справочник.- М.: Наука, 1985. -128 с..

    7. Френкс Л. Теория сигналов/Пер. с англ.-М.:Сов. Радио, 1974. – 312 с.




  • 1   2   3   4   5   6   7


    База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
    звернутися до адміністрації

        Головна сторінка