Дикарев А. В. По основам цифрой обработки сигналов киев 2014



Сторінка1/7
Дата конвертації15.04.2016
Розмір1.78 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
Дикарев А.В.

ПО ОСНОВАМ ЦИФРОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Киев 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..1

I. ОСНОВЫ ЦИФРОВОй ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ…………………..2



    1. Принципы модуляции гармонических сигналов…………………2

1.2. Способы дискретизации непрерывных сигналов…………………3

1.3. Формула Эйлера……… …………………………...……..……...4

1.4. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье ………… …..6

1.5. Формулы Фурье-преобразования ……………………………. …..8

1.6. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье …… ……....10

1.7. Свойства спектров дискретных сигналов………………………….13

1.8. Теорема Найквиста и нормированная частота…………………….14

1.9. Теорема Котельникова: восстановление сигнала

по его дискретным выборкам………………………….… …………17

1.10. Дельта-функция и белый шум…………………… ……………..18

1.11. Связь спектров дискретизированных и аналоговых сигналою…19

1.12. Примеры дискретизированных сигналов……………..…………20

1.14. Ортогональный и ортонормированный базис……………………25

1.15. Дискретизация квадратурных сигналов…………………………..27

1.16. Дискретное преобразование Фурье……………….…………….28

1.17. Переход к дискретному преобразованию Фурье…………….….29

1.18. Свойства дискретного преобразования Фурье…………………...30

1.19. Матрица Фрэнкса………..……………………………………….30

1.20. Быстрое дискретное преобразование Фурье…...…………………31

1.20.1. БПФ для ряда из четырёх членов……………………….33

1.20.2. Операция ”бабочка” для БПФ ряда из четырёх члено..35

1.20.3. БПФ ряда из восьми членов………………………...……36

1.21. Более строгое обоснование БПФ………………………………37

1.21.1. Прореживание последовательности х(n) по времени……..38

1.21.2. Графическое представление БПФ…………………………40

1.21.3. Перестановка членов входной последовательности.……….41

1.21.4. Общий алгоритм БПФ…………………….………………..42

1.22. Свёртка сигналов…………………………………………………..43

1.22.1. Вычисление линейной дискретной свёртки……….……...43

1.22.2. Вычисление круговой дискретной свёртки…..…………...43

1.23. Преобразование Лапласа, Фурье и z-преобразование..…….46

1.24. Преобразование Фурье в р- и z-областях………..………..…48

1.24.1. Основные свойства z-преобразования…….…………….49

1.25. Эффект Гиббса…………………………………………………49

1.26. Интеграл Гильберта……………………………………….…..50

II. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ……………………..48

2.1, Определение линейных цепей…………………………………...48

2.2. Примеры простых линейных непрерывных цепей…………48

2.2.1. Интегрирующее звено…………………..…………………49

2.2.2. Дифференцирующее звено………………….…………….49

2.2.3. Колебательное звено II порядка…………………….…..50

2.3.Описание линейных непрерывных цепей………………………..52

2.4.Параметры линейных непрерывных систем……………………..54

2.5. Конечноразностное уравнение линейных дискретных систем…55

2.6. Три вида формулы передаточной функции ЛДС………………..57

2.7. Общий вид описания линейной дискретной сети…….………..58

2.8. Выходной сигнал и импульсная характеристика ЛДС..……..59

2.8.1. Импульсная характеристика ЛДС…………….……………59

2.9. Основные свойства линейных дискретных сетей…………….. 59

2.10. z-передаточная функция сложного преобразователя……….61

2.11.Определение выходного сигнала ЛДС с использованием

преобразования Фурье…………………………………..……….62

2.12. Применение линейных дискретных систем…………..………..62

2.13. Фильтры с конечной импульсной импульсной

характеристикой-КИХ-фильтры……………………………….62

2.13.1. Уравнение фильтрации……………….……………….....63

2.13.2. КИХ-фильтры с линейной фазой………………………..64

2.13.3. Симметричные фильтры с линейной фазой…………....64

2.13.4. Асимметричные фильтры с линейной фазой………..…65

2.13.5. Формулы АЧХ и ФЧХ …………………………...…...66

2.13.6. Шесть формул расчёта КИХ-фильтров с

линейной фазой……………………………………..…….67


  • 2.13.7. Однородные КИХ-фильтры…………………….……..68


2.13.8. Расчёт однородного КИХ-фильтра………………..….69

2.14. Фильтры с бесконечной импульсной импульсной

характеристикой-БИХ-фильтры………………….……….……..…74

2.14.1. Биквадратный блок………………….…………………...77

2.14.2. Частотная характеристика БИХ-фильтра………………79

2.14.3. Аналоговые фильтры-прототипы………………………..79

2.14.4. Расчёт БИХ-фильтров…………………...….……………81

2.15. Метод линейного предсказания…………….………………..82

2.16. Цифровая коррекция каналов…………………………………..84

2.16.1. Коррекция частотной характеристики канала связи

гармононическим корректором……………...…..92 Литература…………………………………………………………103
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время по любому вопросу цифровой обработки сигналов (ЦОС) можно найти большое число литературных источников как печатных, так и интернет-изданий. Каждый год появляются новые работы. Однако многие вопросы (в частности, расчёты цифровых фильтров, корректоров и т.п.) трактуются разными авторами с разных позиций и часто остаются непонятыми обучаемыми. И хотя литературы отечественной и переводной издаётся и существует много, выбрать необходимую для освоения основ дисциплины ”Цифровая обработка сигналов” непросто. В 30-80 годах прошлого века, когда шло теоретическое обоснование основных методов и принципов ЦОС, был издан ряд фундаментальных монографий и справочников, которые будучи интересными для специалистов-теоретиков, сейчас мало понятны широкому кругу обучаемых, для которых цифровая обработка сигналов не являлся профилирующим предметом. Да и большинство из вышедших в то время книг стали сейчас библиографической редкостью. Позже, в 90-х годах прошлого и первом десятилетии текущего столетия появилось ряд изданий, где авторы стремились отразить все стороны и направления дисциплины. Книги, как правило, получались большими по объёму, перегруженными разноплановым материалом, дорогими по стоимости и поэтому мало востребованными основной массой обучаемых. Авторы зачастую много внимания уделяли своим наработкам и в этом был главный недостаток этих изданий. Существовало и ещё одно направление: печатались работы, посвященные отдельным вопросам предмета, из которых не создавалась связная картина дисциплины в целом. Сейчас, на наш взгляд, назрела необходимость иметь ряд изданий типа справочников по основным вопросам науки, снабжённых примерами, которые легко повторить на компьютере без знания основ программирования. Это послужит базой для освоения основ цифровой обработки сигналов. Такой попыткой и является настоящее учебно-методическое пособие.

В работе основной упор сделан на конволюционных методах обработки периодических последовательностей двоичных прямоугольных импульсов, которые бесчисленными цифровыми устройствами обрабатываются в реальном времени. Это и понятно.

Периодические последовательности прямоугольных импульсов различной длины и конфигурации завоевали мир. В виде блоков, суперблоков, пакетов, кадров, фрэймов, слайсов, потоков они в настоящее время составляют основу большинства новых и высоких цифровых мультимедийных технологий. Их записывают и хранят на магнитных и лазерных дисках, они циркулируют на материнских платах миллиардов персональных компьютеров, мобильных телефонов, в сетях Интернет и цифровых устройствах с такими экзотическими названиями как WI-FI, WI-MAX, LTE и т.п. В периодические последовательности переводится видео-, аудио- и символьная информация, данные измерительных приборов и датчиков различных устройств. Указанные периодические последовательности предварительно надо сформировать с сохранением всей информативности данных, уметь переносить и хранить заданное время на существующих носителях, передавать по различным каналам связи, сжимать и распаковывать,защищать от помех и ошибок. Чтобы делать это эффективно, необходим знать их амплитудно- и фазочастотные характеристики, уметь усиливать, фильтровать, корректировать взаимные и внешние помехи, сжимать без потери и с потерей информации, обмениваться с абонентами в реальном времени. Все эти вопросы составляют основу цифровой обработки сигналов, её методов, алгоритмов и математического аппарата, Задача заключается в том, чтобы первоначальные сведения донести до обучаемых с иллюстрацией на конкретных простых примерах. Приведенные в Учебно-методическом пособии примеры легко повторить на компьютере без предварительного знания языков программирования в системе Mathcad. На используемые в пособии материалы различных авторов даются ссылки.
I. ОСНОВЫ ЦИФРОВОй ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ


    1. Принципы модуляции гармонических сигналов


Полезная информация, которую надо передать или хранить, закладывается в изменении параметров несущих сигналов. Для гармонических сигналов этот процесс называется модуляцией, а для дискретных-манипуляцией.
Непрерывный гармонический сигнал описывается выражением

.

где А – амплитуда, f – частота в Гц. φ – начальная фаза,

ω = 2π • f– угловая частота (рад/с), T = 1/f = 2π/ω-период сигнала.

1. Амплитудномодулированный сигнала (АМ-сигнал)

XАМ (t) = A(ω) • cos(ω t + φ)

A(ω) = A(0) • [1+m • f(t)],

m – глубина модуляции, m=0..1,

ω (t) – модулирующая функция, │ ω (t)│≤1.





  1. Частотномодулированный сигнал ( ЧМ-сигнал)

XЧМ (t) = A • cos(ω (t) • t + φ)

где: ω (t) = ω • [1+Δ ω /ω0 ω (t)],

ω0 – несущая частота, Δω – девиация

Δω /ω0 – глубина модуляции (ω <<1)



3. Фазомодулированный сигнал (ФМ-сигнал)

XФМ (t) = А • cos(ωt + φ(t))

где: φ(t) = φ0+Δφ • ω(t)

Δφ – прирощение фазы


1.2. Способы дискретизации непрерывных сигналов
Дискретизация непрерывных плоских сигналов может производиться по амплитуде, по времени и по амплитуде и по времени одновременно.
Основным недостатком аналоговых сигналов является то, что в процессе реализации они приобретают бесконечное количество значений-континуум значений-на интервале от минимума до своего максимума. Дискретные и в частности цифровые сигналы принимают лишь два значения 0 и 1 или -1 и 1 и в результате помехозащищённость их значительно выше.

Периодические гармонические сигналы, которые называют плоскими сигналами, могут быть дискретизированы по амплитуде и тогда они называются дискретно-непрерывными, либо по времени и тогда они носят название непрерывно-дискретные, либо и по амплитуде и по времени и тогда их называют дискретными.

Амплитудное значение сигнала, попадающее в тот или иной интервал в принятых стандартах дискретизации сигналов принято описывать двоичными кодами длиной n=8, 10, 12, 20, 24 двоичных единиц или битов. Закодированные дискретные сигналы называются цифровыми. Ясно, что длина двоичной последовательности однозначно определяет количество дискретов, на которые делится возможный интервал всех значений аналогового сигнала, начиная от минимума и кончая максимумом. Общее число интервалов составляет Int=2n. При n=8 величина Int=256, а при n=12 Int= 4096. Нивелирование сигналов по уровням дискретизации приводит к шумам квантования, которые тем меньше, чем больше используется уровней дискретизации. Ниже (рис.1.1) приводятся примеры различного вида дискретизации аналогового периодического сигнала.
Пример 1.1.



Рис.1.1. Виды дискретизации аналоговых сигналов
1.3. Формула Эйлера
Формула Леонарда Эйлера позволяет перейти к показательной форме ряда Фурье.
Сигналы, с которыми приходится иметь дело в ЦОС, обычно имеют значения из области действительных чисел. Однако математические выражения для ряда Фурье в комплексной форме намного проще и на практике постоянно приходится иметь дело с комплексными числами.

Число вида z=a+jb называется комплексным, если в нём a и b любые действительные числа, а -мнимая единица. Комплексное число включает в себя действительную часть a=Re(z) и мнимую часть b=Im(z). На плоскости комплексное число удобно представить на окружности с радиусом z, имеющей декартовы координаты: действительную ось 0x и мнимую ось 0y.

Значение модуля комплексного числа представляется как , а аргумент – это угол между вектором z и осью абсцис: φ=arctg(b/a). Два числа z=a+jb и z=a-jb называются комплексно-сопряженными. Ось абсцисс является действительной, а ось ординат – мнимой осью. Размещение комплексного числа в виде вектора в комплексной форме представлено на рис. 1.2.

Im


z=a-jb

Re

Рис.1.2. Графическое представление двух комплексных



взаимно-сопряженных чисел
Как видно из рис.12, комплексное число можно представить кроме алгебраической, также тригонометрической формой следующим образом:

Z=a+jb=zcos φ+jzsin φ=z(cos φ+jsin φ)

На основании тригонометрической формы комплексного числа возможен переход к его показательной форме и формуле Эйлера.

Это легко выполнить, если тригонометрические функции sinx, cosx и экспоненту exp(jx) представить их разложением в бесконечными сходящимися рядами и сравнить полученные результаты:






На основании формулы Эйлера тригонометрические функции записываются как:

Отметим, что функции exp(jkx) и exp(-jkx) являются сопряженными.


1.4. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье

В 1822г. французский инженер и математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) обобщил результаты, полученные для волнового уравнения, показав, что произвольную периодическую функцию, которая в самом общем виде представляется как s(t)=Acos(ωt+φ), где А-амплитуда, ω-круговая частота и φ-начальная фаза, даже имеющую конечное число разрывов первого рода, можно представить бесконечной дискретной суммой периодических тригонометрических функций в ортонормированном базисе.
Периодические сигналы, описываемые периодическими функциями [15], могут быть разложены в ряд Фурье, если они отвечают условиям Дирихле :

  • Не должно быть разрывов второго рода с ветвями, уходящими в бесконечность.

  • Число скачков разлагаемой в ряд Фурье функции (разрывов второго рода) должно быть конечным.

  • Число экстремумов функции на интервале её определения должно быть конечным.

Может использоваться несколько базисных функций в представлении ряда Фурье, где одна форма вытекает из другой.

- Синус-косинусная форма ряда Фурье



Здесь s(t)-разлагаемая в ряд Фурье периодическая функция. Если s(t) функция чётная, то коэффициенты bk в формуле ряда Фурье будут нулевыми, а при нечётной функции s(t) нулевыми будут коэффициенты ak.

- Косинусная форма ряда Фурье

На основании представленных ниже тригонометрических преобразований



.

для определения коэффициентов Фурье можно получить более простую формулу, в которой используется лишь функция косинуса либо синуса, но в аргументе кроме круговой частоты появляется вторая переменная-фазовый сдвиг. В результате имеем вторую форму ряда Фурье



(1.4)

- Третья форма ряда Фурье получается посредством замены косинуса его экспоненциальными эквивалентами по формуле Леонарда Эйлера:



Откуда:


(1.5)

В выражении (1.5) проделаем следующие преобразования: для второго слаемого перейдём от единичного нижнего предела суммы к пределу ”минус бесконечность” и вынесем за скобки множитель , после чего введём обозначение . Тогда выражение (1.5) окончательно примет вид:



(1.6)

Комплексные коэффициенты Ck определяются как .

Справедливо и обратное к (1.6) выражение для нахождения коэффициентов Ck:

(1.7)

Совокупность амплитуд частот ряда Фурье носит название амплитудночастотного спектра сигнала, а их фазовый сдвиг- фазочастотного спектра сигнала .



Пример 1.2. Разложение в ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов с периодом T1, амплитудой A и длительностью каждого импульса τ (рис.1.3):

τ

A


T

Рис.1.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов



Прямоугольный импульс является четной функцией, поэтому для его разложения удобно пользоваться синусно-косинусным представлением ряда Фурье (1.1), в котором будут присутствовать только косинусные составляющие сомножителей а(k) формулы:

(1.8)

Обозначим отношение периода T последовательности к длине прямоугольного импульса τ, (так называемую скважность), как q=T/τ. Тогда коэффициенты разложения последовательности прямоугольных импульсов можно представить следующим образом (1.9):



. (1.9)

Постоянная составляющая ряда а0 равна и a0=(2A/q)=Aτ/T.

Таким образом, разложение Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье имеет вид:
(1.10)
1.5. Формулы Фурье-преобразования
Переход от формул разложения функций в ряд Фурье к формулам Фурье-преобразования позволяет применить их к нахождению спектра одиночного сигнала произвольной формы, если он описывается интегрируемой функцией.

Разложение в ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов с периодом T1, амплитудой A и длительностью каждого импульса τ позволяет получить спектр периодической последовательности прямоугольных сигналов, который описывается непрерывной периодической функцией siсα=sinα/α. Спектр имеет один главный лепесток и бесконечное количество аналогичных по форме и постоянно уменьшающихся по амплитуде боковых лепестков, которые образуют уменьшающиеся по размеру амплитуды синусоид с увеличивающейся по закону натурального ряда чисел частотой. Число частот в каждом из бесконечного ряда лепестков одинаково. Спектр характеризуется тремя равенствами; 2π/Т-расстоянием между соседними боковыми лепестками, 2π/T-расстоянием между соседними частотами во всех лепестках, Aτ/T-максимальное значение амплитуды частоты в главном лепестке. Здесь А-амплитуда, τ-ширина прямоугольного импульса в периодической последовательности, Т-период последовательности.

На рисунке видно, что при увеличении периода импульсов Т в два раза расстояние между лепестками не меняется, количество синусоид в каждом лепестке удваивается, а амплитуды их уменьшаются. Тогда, если устремить период последовательности к бесконечности, в ней останется всего один импульс, а его спектре вместо счетного

Aτ/T1


A 2π/T1
τ

t

T1 0 2π/τ


T2 Aτ/T2
τ 2π/T2
t

2π/τ
Рис.1.4. Изменение спектра последовательности прямоугольных импульсов при двукратном увеличении их периода


дискретного количества частотных составляющих образует аморфное частотное образование, составляющее частотную плотность. Тогда в формуле ряда Фурье операцию суммирования можно заменить интегрированием по времени и получить

формулу прямого Фурье-преобразования. По этой формуле находится спектр одиночного сигнала:



(1.11)

Вид формулы прямого Фурье-преобразования позволяет написать почти аналогичную по виду формулу обратного Фурье-преобразования, которая по комплексному спектру сигнала позволяет находить его описание во временной области: . (1.12)

Во втором выражении перед интегралом в качестве сомножителя используется величина обратная периоду сигнала в общем случае 2π.
1.6. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье
Ниже приводятся примеры расчёта по формуле прямого Фурье-преобразования спектров одиночного прямоугольного, симметричного треугольного и экспоненциального гауссова импульсов. За исключением гауссова импульса спектры остальных импульсов периодические и имеют основной и боковые лепестки.


  1. Спектр прямоугольного импульса

Прямоугольный импульс является чётной функцией, поэтому коэффициентами его разложения являются синусоидальные компоненты.
Описание импульса

s(t)


A

A

-t/2 t/2



Рис. 1.5. Прямоугольный импульс и его описание

Спектр прямоугольного импульса описывается формулой



Характер аплитудночастотного и фазочастотного спектров прямоугольного импульса имеют вид:


At S(jω) S(jω)

2π /t

ω ω


4π /t 6π /t 0 2π/t 4π /t 6π /t 0

Рис. 1.6. Характер амплитудно- и фазочастотного спектров

прямоугольного импульса
Спектр одиночного прямоугольного импульса имеет много общего со спектром последовательности прямоугольных импульсов: его вид описывается такой же функцией sicα=sinα/α, расстояние между соседними боковыми лепестками 2π/t, амплитуда основного лепестка At, где А-амплитуда импульса, а t–его ширина. Значение фазы спектра в зависимости от знака функции sicα меняется от 0 до π. При ω<0 спектр имеет значение – π, а при ω >0 спектр равен π.


  1. Треугольный симметричный импульс

Описание и спектр треугольного симметричного импульса


s(t)


A

t

-T 0 T



Рис. 1.7. Треугольный симметричный импульс и его описание

Спектр треугольного импульса описывается формулой




Характер амплитудночастотного спектра треугольного импульса:

AT S(jω)

ωT

0 π 2π 4π


Рис. 1.8. Характер амплитудночастотного спектра

прямоугольного импульса




  1. Экспоненциальный гауссов импульс

Описание импульса

,.

Коэффициенты спектрального разложения



Экспоненциальный гауссов импульс имеет бесконечную протяженность и спектр его бесконечный. Спектр имеет один главный лепесток и боковых лепестков не имеет. Это свойство позволило использовать его для сглаживания перепадов на π/2 фазовой функции в системах мобильной связи.

Рассмотренные особенности иллюстрируют три примера 1.2, выполненные в среде Matcad [9]. Пример 1.2

.



1.7. Свойства спектров дискретных сигналов
Ниже без доказательств сформулированы основные свойства спектров дискретных сигналов, вытекающие из формул Фурье-преобразования (доказательства их можно найти в разных учебниках).

Линейность



2. Задержка на время τ эквивалентна умножению его спектра на экспоненту



3. Изменение масштаба сигнала по оси времени



4. Дифференцирование сигнала



.

  1. Интегрирование сигнала (без постоянной составляющей)

.

  1. Cпектр свертки сигналов

.

  1. Cвязь между энергией (дискретного) сигнала во временной и частотной области (теорема Парсеваля)

.

В последнем выражении Т-период дискретизации аналогового сигнала.



1.8. Теорема Найквиста и нормированная частота
Теорема Гарри Найквиста устанавливает начальную граничную частоту дискретизации аналогового сигнала, чтобы по дискретным выборкам его можно было восстановить без потерь.
Конечная последовательность двоичных сигналов как правило имеет конечный спектр. Если это не так, на передающем конце ставится высокочастотный фильтр для ограничения ширины спектра. В 1928 г. американский физик Гарри Найквист сформулировал теорему, согласно которой для точного восстановления по частотным выборкам частота дискретизации должна быть по крайней мере в два раза выше самой высокой частоты присутствующей в спектре сигнала. Эта граничная частота дискретизации получила название частоты Найквиста. Для гармонического сигнала здесь могут представиться три случая:

  1. Частота дискретизации меньше частоты Найквиста. Точное восстановление сигнала в первоначальном виде становится невозможным. Появляются дополнительные частоты, которых не было в спектре исходного сигнала. Это явление носит название ”алиасинг”.

  2. Частота дискретизации равна частоте Найквиста. Сигнал может быть восстановлен в первоначальном виде, но амплитуда и фаза его могут быть искажены.

  3. Частота дискретизации больше частоты Найквиста. Аналоговый гармонический сигнал по его дискретным выборкам восстановливается без искажений. Эти три случая иллюстрирует пример 1.3.

Текущая частота спектра отнесённая к частоте Найквиста называется нормированной и обозначается как w. Нормированная частота всегда лежит в интервале [0,..,0.5].

эта относительная нормировуанная частота всегда будет находиться в пределах w=0…0.5:



Такой подход позволяет частотный спектр аналоговых сигналов изучать в постоянном интервале w=0..0.5.

Например, имеются два периодических сигнала описываются функциями g(t)=Asin(2πF1(1))t и x(t)=Bcos(2πF2(1))t, причем текущая частота первого сигнала F1(1)=40Гц, а второго F2(1)=1000Гц. Верхняя частота первого сигнала F1(max)=200Гц и второго F2(max)=5000Гц. Нормированная относительная частота обоих сигналов одинакова и равна w=0.1, что легко проверить.
1.9. Теорема Котельникова: восстановление сигнала по его дискретным выборкам
Теорема Найквиста устанавливает нижнюю граничную частоту дискретизации и получения выборок аналогового сигнала на основании которой аналоговый сигнал может быть восстановлен без потерь по своим выборкам. Теорема В.А. Котельникова 1933 г. даёт теоретическую формулу, по которой аналоговый сигнал восстанавливается на временном интервале.
Теорема В.А. Котельникова. Любую функцию f, состоящую из частот от 0 до f(max) включительно, можно передавать с любой степенью точности при помощи чисел, следующих друг за другом через интервалы времени 1/2f(max) секунд.

Пример 1.3.

Доказательство (по А.А.Харкевичу, [20]). Применим формулы прямого и обратного преобразования Фурье:



В рассматриваемом частном случае ограниченного спектра ω(max)=2πf(max) и первое выражение прямого Фурье-преобразования примет вид:



(1.13)

Поскольку частотный спектр за пределами f(max) S(ω)=0, то саму функцию S(ω) на интервале . по частотам также можно разложить в ряд Фурье:



В этом разложении удвоенный конечный спектр играет роль периода по частоте. Отсчёты функции находятся по формуле обратного Фурье-преобразования

Здесь D(ω)-ограниченное значением f(max) прямое преобразование Фурье: частотная функция исходного сигнала. Эта функция с частотой дискретизации Т точно так же может быть разложена в ряд Фурье (по формуле прямого преобразования):

(1.14)

Подставляя формулу b) в a) последнее выражение в аналогичную формулу прямого преобразования Фурье и меняя порядок выполнения операций, получаем:



После изменения порядка суммирования и интегрирования получим



После интегрирования это выражение имеет вид:



(1.15)

имеют смысл частотных выборок на временной оси

: . (1.16)

Подставляя в формулу с), получим окончательный вид формулы Котельникова:



(1.17)

Из последней формулы вытекает основное свойство сигнала с ограниченным спектром: он бесконечен во времени, спектр каждой выборки является произведением функции sicα=sinα/α умноженной на масштабирующий множитель f(kT).


1.10. Дельта-функция и белый шум
В цифровой обработке сигналов широко используются свойства специального δ импульса, частотный спектр которого равномерный и бесконечный похож на спектр белого шума, но за счёт фазовых особенностей имеет принципиальные отличия.
По определению δ –функция (δ-импульс)– это очень короткий прямоугольный импульс, ширина которого равна τ, а высота 1/τ. При τ→0 площадь δ-импульса равна 1. Высота импульса стремится к бесконечности, а ширина τ к 0. В этом случае для δ –функции справедливы следующие равенства:

(1.18)

(1.19)

Из последнего соотношения следует, следует, что δ-функция в нулевой точке обладает фильтрующим свойством, позволяющим выбрать в ней значение сигнала f(τ).

Если δ-функции равномерно разместить на временной оси через интервалы времени Т – интервалы дискретизации Найквиста – то можно найти спектр уже периодической δ-функции, разложив ее в степенной ряд Фурье. Поскольку спектр δ-функции единичный, а интервал ее повторения равен Т, ряд Фурье на интервале периода дискретизации равен частоте дискретизации f(T)=1/T. Получаются следующие закономерности:

(1.20)

Следовательно, периодическая последовательность δ-функций, сдвинутых на шаг дискретизации, ω=2πn/T, имеет вид:



(1.21)

Формула (1.18) показывает, что по всему бесконечному частотному спектру амплитуды всех частот δ –импульса одинаковы и сам частотный спектр равен 1. Фазы же всех частот строго упорядочены, поскольку все они начинаются в начале координат гдедля δ(τ) τ=0. Если же на временной оси фазы частотного спектра короткого прямоугольного сигнала эквивалентного δ-импульсу неупорядочены, случайны, беспорядочны, получается белый шум. Благодаря такому свойству фаз частотного спектра спектр δ-импульса и белый шум – два абсолютно разных физических явления.


1.11. Связь спектров дискретизированных и аналоговых сигналов
Спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд копий спектров аналогового сигнала, сдвинутых на частоту дискретизации .
Этот результат получается из формулы прямого и обратного Фурье-преобразования Доказательство приведено в [18].

, .

После замены функции времени для аналогового сигнала его отсчётами с периодом дискретизации Т имеем:



(1.22)

На периоде 2π будет счётное множество интервалов дискретизации и для каждого очередного периода mТ справедлива формула обратного Фурье-преобразования при условии, что число периодов m бесконечно. Тогда интеграл можно заменить бесконечной суммой периодов и формула обратного Фурье-преобразования для дискретизированного сигнала примет вид:



(1.23)

m-номер интервала . Вычисление интеграла с переменными от m пределами можно заменить вычислением интеграла с постоянными пределами , но зависимой от m подинтегральной функцией ,которая соответствует спектру сдвинутому по оси частот на , где . Поэтому последнее равенство можно переписать как:



.

После перемены порядка суммирования и интегрирования получается:



. (1.24)

Если последнему выражению поставить в соответствие прямое преобразование Фурье, можно найти соответствие между спектром аналогового и дискретного преобразования Фурье:



. (1.25)

Из последнего выражения видно, что спектр дискретного сигнала равен сумме спектров аналогового сигнала сдвинутых на интервал дискретизации и умноженных на константу 1/T. Отсюда следует, что спектр аналогового сигнала можно получить на выходе фильтра нижних частот на интервале одного периода дискретизации. Вид спектра дискретизированного сигнала показан на рис. 1.9.

S(ω)
1 2 3

-ω/2 0 ω/2 ω

Рис.1.9. Спектр дискретизированного сигнала
1.12. Примеры дискретизированных сигналов
В общем случае дискретизированный во времени сигналявляется произвольным по величине и на временной оси представлятся решётчатой функцией.

Обычно при представлении сигнала рядом Фурье в комплексной форме находится его комплексный частотный спектр. Амплитудночастотный спектр сигнала находится как модуль, а фазочастотный спектр как аргумент комплексночастотного спектра.
Числовые значения решетчатого сигнала записываются последовательностью действительных или комплексных чисел как вектор на каждом временном интервале Т, являющимся периодом дискретизации. Типичными дискретными импульсами являются:


  1. Цифровой единичный импульс, описываемый как

. n-натуральный ряд чисел.

  1. Цифровой единичный скачок


. 1





3.Дискретная синусоида

X(n)=Asin(2fTn)

A-амплитуда, f-частота, T-период дискретизации, n-натуральный ряд.
X(n)
5 6 7

1 2 3 4


Рис. 1.10. Дискретная синусоида
Если комплексночастотный спектр представлен комплексными числами в алгебраической форме , то амплитуды составляющих компонент находятся




Рис. 1.11. Прямое и обратное разложение дискретного сигнала в ряд Фурье.

Нахождение комплексночастотного, амплитудно- и фазочастотного

спектров
как . а фазы как . Нахождение комплексночастотного спектра и его составляющих: амплитудно- и фазочастотных характеристик покажем на примере рис. 1,11 выполненном в среде Mathcad и представленном ниже. В этом конкретном случае сигнал образован шестнадцатью игольчатыми одиночными импульсами, четыре из которых единичные и образуют прямоугольный импульс. Вначале с помощью прямого разложения Фурье получен его двухлепестковый спектр, для которого ниже с помощью встроенных функций Mathcad получены в численном виде


значения комплексных частот, а также амплитудно- и фазочастотный спектр. Отдельные частоты с периодом кратным k=1, 2, 3, 5 основной частоте показаны на следующих двух графиках. На нижнем графике показано восстановление исходного сигнала с помощью обратного преобразования Фурье по k=3, 5, 8 компонентам (синусоидам) и имеющее место при этом искажение восстаноленного сигнала. При k=8 и больше искажений восстановленного сигнала не наблюдается.
1.13. Ортогональный и ортонормированный базис
Особые свойства преобразования Фурье объясняются системой базисных функции, по которым производится разложение сигнала при переходе от временной области к частотной и обратно. Эта система образует ортогональный или ортонормированный базис.

В формуле ряда Фурье сигнал для каждой частоты из бесконечного их ряда раскладывается по синус-косинусным компонентам. Нормой разложения сигнала по каждой из частоте является выражение



Такой базис, состоящий из взаимноперпендикулярных векторов, называется ортогональным. Если в базисе все векторы, по которым производится разложение функции или векторов сигнала единичны, то

Базис является ортономированным. В частности, для многомерного сигнала многомерный δ-импульс образует ортонормированный базис N-мерного пространства:

(1.26)

Пусть имеется система функций, составляющих систему координат, по которым предполагается разложить сигнал во временной области.

Пусть два вектора v1 и v2 взаимноперпендикулярны и равны 1, другими словами образуют ортонормированный базис. Пусть некоторый сигнал, выражаемый функцией f, по каждому из направлений ортонормированного базиса описывается набором величин-векторов c1 и c2. Эту функцию-сигнал через векторы ортонормированного базиса можно выразить как f=c1v1+c2v2.

Коэффициенты-векторы с1 и с2 выражают величину составляющих вектора f по направлениям c1 и c2. Два вектора c1*v1 и c2*v2 называют проекциями вектора f. Получение проекций вектора f ортонормированного базиса проще всего продемонстрировать на конкретных примерах.



Пример 1.4. Показать, что два вектора образуют ортогональный базис [14].

Решение. Проделаем следующие операции:



Произведение векторов равно 0, модуль каждого вектора равен 1, следовательно, указанные векторы образуют ортонормированный базис.



Пример 1.5. Разложить вектор по базису (v1,v2), заданному в примере 1.

Решение. Вектор f можно представить как f=c1v1+c2v2. Выполним это представление:



Следовательно,

Если сигнал представлен большим числом своих измерений N, то приходим к необходимости получения нормы N-мерного пространства, которая определяется следующим образом:

(1)

Для непрерывного вектора от суммирования под знаком радикала переходят к интегрированию. Если к тому же известен интервал всех составляющих [a,b], норму вектора нормируют по его величине:



(1.27)

По этой же причине в формулах разложения и преобразования Фурье используется нормирующий множитель по периоду сигнала.

Заключение. Система функций, используемая в разложении Фурье периодических сигналов, а именно:

обладает свойством ортогональности, а раскладываемые по системе этих функций сигналы называются сигналами, разложенными по ортогональному базису. Основное свойство таких сигналов заключается в том, что интеграл, взятый от произведения любых двух функций на периоде Т=2π/ω всегда равен 0:



(1.28)

Свойства ортонормированного базиса широко используются в современных связных технологиях. Например, для сжатия дискретных сигналов может использоваться единичная ортогональная матрица, которая при умножении на вектор или матрицу сигнала с коррелированными элементами позволяет в первом элементе результирующего вектора или матрицы получить главную часть описываемого сигнала. Детали сигнала сохраняются в остальных



элементах. В ортонормированной единичной матрице векторное произведение любых двух строк равняется нулю. Получателю может передаваться первый элемент и алгебраическое среднее остальных элементов или деталей. На приёмной стороне по этим двум цифрам в приближённом виде однозначно восстанавливается исходный вектор-сигнал.

Другим примером использования ортогонального базиса является модуляция в мобильной связи GSM. Модуляция представляет собой частотную манипуляцию, при которой несущая частота дискретно через интервалы времени Т кратные длине бита принимает значения f=f(нес)-F/4 или F=f(нес)+F/4, где F=1/T частота битовой последовательности. При этом обеспечивается ортогональность колебаний с битами различных знаков. Сама входящая информационная битовая последовательность делится на две подпоследовательности с чётными и нечётными битами, которые умножаются соответственно на синус и косинус для получения синфазных и квадратурных сигналов, которые по определённому закону одновременно воздейстуют на модулятор. Это позволяе сжимать спектр передаваемого сигнала и увеличивать помехозащищённость.

Следующи примером использования ортонормированного базиса является дискретизация квадратурных сигналов [15].


1.15. Дискретизация квадратурных сигналов
Полезные свойства ортормированных сигналов нашли широкое применение в цифровых системах, в частности, в мобильной связи при манипуляции сигналов.
Рассмотрим сигнал, в котором функцией времени являются амплитуда и фаза: ω-несущая частота сигнала, по сравнению с которой изменение амплитуды и фазы происходит значительно медленнее. Частоту дискретизации сигнала выполним на основании алгоритма квадратурной дискретизации, предусматривающий дополнительную его обработку.

Исходный сигнал можно записать, как Информативной является первая часть сигнала, в состав которой входит функция изменения амплитуды во времени: Спектр этого комплексного сигнала ώ<<ω частоты дискретизации исходного сигнала, однако для своей реализации он нуждается в квадратурной дискретизации, алгоритм которой состоит в следующем.

Входной сигнал умножается на два колебания генератора-гетеродина несущей частоты ω, которые сдвинуты друг относительно друга на 90 градусов: cosωt и sinωt. Рассмотрим полученные преобразования:

(1.29)

Следовательно, для получения вещественной и мнимой частей комплексной огибающей сигнала нужно после перемножения пропустить результаты через фильтры нижних частот для устранения второй гармоники несущей. После этого полученные сигналы, пропорциональные действительной и мнимой части, подвергаются дискретизации. Такой процесс в радиотехнике называется гетеродинированием. Оно просто реализуется аналоговыми схемами.



ФНЧ

ФНЧ
  1. АЦП

  2. АЦП


cosωt

s(t) A(kT)

sinωt

Рис. 1.12. Квадратурный детектор


1.16. Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) конечных последовательностей даёт возможность набор действительных или комплексных чисел, составляющий числовой вектор, на интервале периода 2π переводить из временной области в частотную и наоборот.

Формулы прямого и обратного дискретного преобразования фурье:

прямого ; (1.30)

обратного . (1.31)

В этих формулах N- длина числового вектора или количество выборок аналогового сигнала, n-номер частотной компоненты спектра, k-номер выборки аналогового сигнала или элемента вектора.

Дискретное прямое и обратное преобразование Фурье было получено для дискретизированного периодического сигнала, представляемого решетчатой функцией, на бесконечной временной оси и описываемого выражениями:



. (1.32)

Комплексную частоту можно представить через модуль и аргумент, составляющин амплитудно- и фазочастотный спектр решетчатой функции:


.

Пример. Вычислить спектр дискретизированного сигнала, описываемого экспоненциальной функцией .

Спектральные коэффициенты представляют сумму бесконечной геометрической прогрессии



.

Амплитудночастотный спектр:



.

Фазочастотный спектр:



.
1.17. Переход к дискретному преобразованию Фурье
На практике в цифровой вычислительной технике конечными являются сигналы и их выборки и спектры сигналов конечны. Переход к ДПФ производится следующим образом [18].

Пусть непрерывная функция дискретизирована на периоде 2π с частотой . Частота дискретизации как минимум в два раза больше высшей частоты конечного спектра .и в пределах образования спектра сигнала .временной интервал его образования соответствует , где N-количество выборок или . Пусть периоду дискретизации по времени Т соответствует период дискретизации по частоте .. Из последнего равенства может быть получено количество комплексных частотных компонент при числе выборок N:



.
После замены непрерывного спектра в формуле прямого и обратного Фурье-преобразования для решетчатой функции его дискретными отсчётами в точках Т получим формулу прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для вычисления каждой из k комплексних частотных компонент:

. k=0,1,2,…,N-1

По аналогии с прямым и обратным Фурье-преобразованием можно написать формулу обратного дискретного преобразования Фурье для вычисления значений каждого из n отсчётов ограниченного аналогового сигнала с конечным спектром.



. n=0,1,2,…,N-1

-нормирующий множитель, используемый для однозначного перехода от прямого дискретного преобразования Фурье к обратному и наоборот.
1.18. Свойства дискретного преобразования Фурье
Свойства ДПФ, как и следует ожидать, во многом совпадает со свойствами преобразования Фурье.


  1. Спектр решётчатой функции, его модуль и аргумент представляют собой непрерывные периодические функции с периодом равным 2π./T.

  2. Если последовательность отсчётов решётчатой функции описывается вещественными функциями, то модуль спектра будет чётной функцией, а аргумент- нечётной функцией частоты.

  3. Линейность спектра

Если .

то . .

3. Сдвиг решётчатых сигналов по оси частот

Сдвиг спектра по оси частот на величину . соответствует умножению

частотного спектра на , т.е. ..
1.19. Матрица Фрэнкса
Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье векторноматричным способом рассчитывается по таким же формулам, как и неизвестные системы в линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Коэффициенты СЛАУ для прямого и обратного преобразования со знаковыми модификациями и весовым коэффиентом 1/N для обратного ДПФ даёт матрица Фрэнкса.
Дискретное преобразование Фурье представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), с помощью которого от вектора дискретных отсчетов аналогового сигнала возможен однозначный переход к их частотному преобразованию. Такое преобразование реализуется умножением квадратной матрицы на вектор-столбец входных сигналов:
1 1 1 1 … 1 f(0)
1 e-j(2π/N) e-j(4π/N) e-j(6π/N) ... e-j(2*1*(N-1)π/N) f(1)
X(n)= 1 e-j(4π/N) e-j(8π/N) e-j(12π/N)... e-j(2*2*(N-1)π/N) f(2)

*

1 e-j(6π/N) e-j(12π/N) e-j(18π/N)... e-j(2*3*(N-1)π/N) f(3)



……………………………………………… …. (1.33)
……………………………………………………. …..
1 e-j(2π*(N-1)*/N) e-j(2π*(N-1)*/N) e-j(2*(N-1)*(N-1)π/N) f(N-1)

Общая формула, для расчета спектральных коэффициентов каждой выборки аналогового сигнала по векторноматричным способом с использованием матрицы Л. Фрэнкса [3], имеет вид:



(1.34)

Таким образом, имея один и тот же набор вырезок дискретного сигнала можно рассчитать либо его спектральную функцию, либо числовые значения отдельных выборок.


1.20. Быстрое дискретное преобразование Фурье
Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ) является удобным алгоритмом автоматизированных расчётов по формулам прямого и обратного дискретного преобразования Фурье.
Из рассмотрения матрицы Фрэнкса следует, что нахождение дискретного преобразования Фурье требует выполнения N*N операций умножения и почти столько же операций сложения, что при большом числе выборок, например, 1000 составляет уже приблизительно 2 млн. операций, которые обычно должны производиться в реальном времени, что затрудняет его практическое применение. Поэтому для расчетов пользуются быстрым дискретным преобразованием Фурье, алгоритм которого основан на закономерностях периодических синус-косинусных функций.

Принцип БПФ проще всего показать на примерах, используя для демонстрационных целей матрицу Фрэнкса. Наглядное объяснение алгоритма БПФ, которое приводится ниже, даётся в [14]. Отметим, что каждый элемент матрицы Фрэнкса составлен из экспонент, имеющих часть – поворачивающий множитель Рассмотрим случай, когда число выборок аналогового сигнала N=8: f(0), f(1),f(2),…,f(7). C учетом принятых обозначений прямое ДПФ приобретает вид:



Для N=8 матрица Фрэнкса выглядит следующим образом:



X0 w0 w0 w0 w0 w0 w0 w0 w0 f0

X1 w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 f1

X2 w0 w2 w4 w6 w8 w10 w12 w14 f2
  1   2   3   4   5   6   7


База даних захищена авторським правом ©shag.com.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка